上海市长宁区2022届高三上学期数学一模试卷

试卷更新日期：2022-01-11 类型：高考模拟

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一、填空题

1. 已知集合 $A = {x | x \leq 2} ， B = {1 ， 3 ， 5 ， 7}$ ，则 $A ∩ B =$

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2. $(2 + x)^{4}$ 的二项展开式中 $x^{2}$ 的系数为

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3. $\underset{n \to ∞}{l i m} \frac{3^{n} - 2^{n}}{3^{n} + 1} =$

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4. 若线性方程组的增广矩阵为 $(\begin{array}{l} 0 & 1 & c_{1} \\ 1 & 1 & c_{2} \end{array})$ ，解为 ${\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 1 \end{array}$ ，则 $c_{1} - c_{2} =$

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5. 在直角坐标系 $x o y$ 中，角 $α$ 的始边为 $x$ 正半轴，顶点为坐标原点，若角 $α$ 的终边经过点 $(- 3 ， 4)$ ，则 $x = \frac{π}{12}$

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6. 3位同学被推荐担任进博会3个指定展馆服务志愿者，每人负责1个展馆，每个展馆只需1位同学，则共有种不同的安排方法.

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7. 已知双曲线 $M ： x^{2} - \frac{y^{2}}{6} = 1$ 的左，右焦点为 $F_{1} 、 F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与双曲线 $M$ 的左、右支分别交于点 $A 、 B$ .若 $△ A B F_{2}$ 为等边三角形，则 $△ A B F_{2}$ 的边长为

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8. 在复平面 $x o y$ 内，复数 $z_{1} ， z_{2}$ 所对应的点分别为 $Z_{1} 、 Z_{2}$ ，对于下列四个式子：
⑴ ${z_{1}}^{2} = | z_{1}^{2} |$ ；
⑵ $| z_{1} \cdot z_{2} | = | z_{1} | \cdot | z_{2} |$ ；
⑶ ${\vec{O_{Z}}}^{2} = {| \vec{O_{Z}} |}^{2}$ ；
⑷ $| \vec{O Z_{1}} \cdot \vec{O Z_{2}} | = | \vec{O Z_{1}} | \cdot | \vec{O Z_{2}} |$ ，其中恒成立的是（写出所有恒成立式子的序号）

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9. 设 $x ， y \in R ， a > 0 ， b > 0$ ，若 $a^{x} = b^{y} = 3 ， a + 2 b = 2 \sqrt{6}$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最大值为

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10. 已知公差不为0的等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{4} ， S_{5} ， S_{7} \in {- 10 ， 0}$ ，则 $S_{n}$ 的最小值为

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11. 已知点 $A 、 B$ 在抛物线 $Γ ： y^{2} = 4 x$ 上，点 $M$ 在 $Γ$ 的准线上，线段 $M A 、 M B$ 的中点均在抛物线 $Γ$ 上，设直线 $A B$ 与 $y$ 轴交于点 $N (0 ， n)$ ，则 $| n |$ 的最小值为．

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12. 设曲线 $C$ 与函数 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{12} x^{2} (0 \leq x \leq m)$ 的图像关于直线 $y = \sqrt{3} x$ 对称，若曲线 $C$ 仍然为某函数的图象，则实数 $m$ 的取值范围为

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二、单选题

13. “ $\frac{1}{a} < 1$ ”是“ $a > 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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14. 给定一组数据 $15 ， 17 ， 14 ， 10 ， 12 ， 17 ， 17 ， 16 ， 14 ， 12$ ，设这组数据的平均数为 $a$ ，中位数为 $b$ ，众数为 $c$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > b > a$ C、 $c > a > b$ D、 $b > c > a$

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15. 已知平面 $α$ 经过圆柱 $O_{1} O_{2}$ 的旋转轴，点 $A 、 B$ 是在圆柱 $O_{1} O_{2}$ 的侧面上，但不在平面 $α$ 上，则下列 $4$ 个命题中真命题的个数是（     ）
①总存在直线 $l ， l \subset α$ 且 $l$ 与 $A B$ 异面；
②总存在直线 $l ， l \subset α$ 且 $l ⊥ A B$ ；
③总存在平面 $β ， A B \subset β$ 且 $β ⊥ α$ ；
④总存在平面 $β ， A B \subset β$ 且 $β / / α$ .

A、l B、2 C、3 D、4

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16. 若函数 $f (x) = 3 s i n ω x + 4 c o s ω x (0 \leq x \leq \frac{π}{3} ， ω > 0)$ 的值域为 $[4 ， 5]$ ，则 $c o s \frac{ω π}{3}$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{7}{25} ， \frac{4}{5}]$ B、 $[\frac{7}{25} ， \frac{3}{5}]$ C、 $[- \frac{7}{25} ， \frac{4}{5}]$ D、 $[- \frac{7}{25} ， \frac{3}{5}]$

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三、解答题

17. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C ⊥ B C ， A C = B C = C C_{1} = 2$ .

(1)、求四棱锥 $A - B C C_{1} B_{1}$ 的体积 $V$ ；

(2)、求直线 $A B_{1}$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 所成角的正切值.

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18. 已知三个内角 $A 、 B 、 C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c ， a = 4 ， c o s B = - \frac{1}{4}$

(1)、若 $s i n A = 2 s i n C$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、设线段 $A B$ 的中点为 $D$ ，若 $C D = \sqrt{19}$ ，求 $△ A B C$ 外接圆半径的值.

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19. 随着人们生活水平的提高，很多家庭都购买了家用汽车，使用汽车共需支出三笔费用；购置费、燃油费、养护保险费，某种型号汽车，购置费共20万元；购买后第1年燃油费共2万元，以后每一年都比前一年增加0.2万元.

(1)、若每年养护保险费均为1万元，设购买该种型号汽车 $n (n \in N *)$ 年后共支出费用为 $S_{n}$ 万元，求 $S_{n}$ 的表达式；

(2)、若购买汽车后的前6年，每年养护保险费均为1万元，由于部件老化和事故多发，第 $7$ 年起，每一年的养护保险费都比前一年增加 $10 %$ ，设使用 $n (n \in N *)$ 年后养护保险年平均费用为 $C_{n}$ ，当 $n = n_{0}$ 时， $C_{n}$ 最小，请你列出 $n > 6$ 时 $C_{n}$ 的表达式，并利用计算器确定 $n_{0}$ 的值（只需写出 $n_{0}$ 的值）

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2^{x} + 1} (x \in R)$ .

(1)、求证：函数 $f (x)$ 是 $R$ 上的减函数；

(2)、已知函数 $f (x)$ 的图像存在对称中心 $(a ， b)$ 的充要条件是 $g (x) = f (x + a) - b$ 的图像关于原点中心对称，判断函数 $f (x)$ 的图像是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标，若不存在，说明理由；

(3)、若对任意 $x_{1} \in [1 ， n]$ ，都存在 $x_{2} \in [1 ， \frac{3}{2}]$ 及实数 $m$ ，使得 $f (1 - m x_{1}) + f (x_{1} x_{2}) = 1$ ，求实数 $n$ 的最大值.

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21. 城市道路大多是纵横交错的矩形网格状，从甲地到乙地的最短路径往往不是直线距离，而是沿着网格走的直角距离，在直角坐标系 $x o y$ 中，定义点 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2})$ 的“直角距离” $d (A ， B)$ 为： $d (A ， B) = | x_{1} - x_{2} | + | y_{1} - y_{2} |$ ，设 $M (1 ， 1) ， N (- 1 ， - 1)$ .

(1)、写出一个满足 $d (C ， M) = d (C ， N)$ 的点 $C$ 的坐标；

(2)、过点 $M (1 ， 1) ， N (- 1 ， - 1)$ 作斜率为2的直线 $l_{1} 、 l_{2}$ ，点 $Q 、 R$ 分别是直线 $l_{1} 、 l_{2}$ 上的动点，求 $d (Q ， R)$ 的最小值；

(3)、设 $P (x ， y)$ ，记方程 $d (P ， M) + d (P ， N) = 8$ 的曲线为 $Γ$ ，类比椭圆研究曲线 $Γ$ 的性质（结论不要求证明），并在所给坐标系中画出该曲线；

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