上海市徐汇区2022届高三上学期数学一模试卷

试卷更新日期：2022-01-11 类型：高考模拟

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一、填空题

1. 已知集合 $M = {x ∣ x^{2} - 2 x > 0} ， N = {x | | x ∣ \leq 1}$ ，则 $M \cup N =$ ．

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2. 已知直线l的一个法向量是 $n = (1 ， - \sqrt{3})$ ，则此直线的倾斜角的大小为．

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3. 已知复数 $z$ 满足 $i z = 1 + i$ ( $i$ 为虚数单位)，则 $| z | =$ .

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4. 已知某圆锥的底面圆的半径为 $\sqrt{2}$ ，若其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的侧面积为．

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5. 若函数 $f (x) = a \cdot 3^{x} + \frac{1}{3^{x}}$ 为偶函数，则实 $a =$ ．

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6. 已知菱形 $A B C D$ 的边长为 $1 ， ∠ D A B = \frac{π}{3}$ ，点 $E$ 为该菱形边上任意一点，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A E}$ 的取值范围是．

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7. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 上一点P到两焦点的距离之积为m ，则当m取最大值时，点P的坐标为.

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8. 设 $x \in R$ 且 $x \neq 0$ ，则 $(x + 2) {(\frac{1}{x} - 1)}^{5}$ 的展开式中常数项为．

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9. 设函数 $f (x) = c o s (ω x + \frac{π}{3}) (0 < ω < 2)$ ，若将 $f (x)$ 图像向左平移 $\frac{4 π}{5}$ 个单位后，所得函数图象的对称轴与原函数图象的对称轴重合，则 $ω =$ ．

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10. 秉承“新时代、共享末来”的主题，第四届“进博会”于2021年11月5至10日在上海召开，某高校派出2 名女教师、2名男教师和1名学生参加前五天的志愿者服务工作，每天安排1人，每人工作1天，如果2名男教师不能安排在相邻两天，2名女教师也是如此，那么符合条件的不同安排方案共有种.

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ ，其中 $a_{n}$ 是 $\sqrt{2} = 1.41421356237 ⋯$ 的小数点后的第 $n$ 位数字，(例如 $a_{1} = 4 ， a_{6} = 3$ )，若 $b_{1} = a_{1}$ ，且对任意的 $n \in N^{*}$ ，均有 $b_{n + 1} = a_{b_{n}}$ ，则满足 $b_{n} = n - 2019$ 的所有 $n$ 的值为．

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} l o g_{2} x ， x > 0 ， \\ | 2 x + 1 | ， x \leq 0 . \end{array}$ ，设集合 $A = {(a ， b) | a \leq - 1$ 且 $n \leq b \leq m ， m ， n \in R}$ ，若对任意的 $(a ， b) \in A$ ，总有 $a \cdot f (b) - b - 3 a \geq 0$ 成立，则 $m - n$ 的最大值为．

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二、单选题

13. 已知 $a ， b \in R$ 且 $a \cdot b \neq 0$ ，则“ $a < b$ ”是“ $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ ”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分又非必要条件

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14. 如图已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， M，N分别是 $A_{1} D$ ， $D_{1} B$ 的中点，则（）

A、直线 $A_{1} D$ 与直线 $D_{1} B$ 垂直，直线 $M N / /$ 平面 $A B C D$ B、直线 $A_{1} D$ 与直线 $D_{1} B$ 平行，直线 $M N ⊥$ 平面 $B D D_{1} B_{1}$ C、直线 $A_{1} D$ 与直线 $D_{1} B$ 相交，直线 $M N / /$ 平面 $A B C D$ D、直线 $A_{1} D$ 与直线 $D_{1} B$ 异面，直线 $M N ⊥$ 平面 $B D D_{1} B_{1}$

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15. 已知曲线 $C ： \frac{x | x |}{4} + \frac{y | y |}{3} = - 1$ ，对于命题：①垂直于 $x$ 轴的直线与曲线 $C$ 有且只有一个交点；②若 $P_{1} (x_{1} ， y_{1}) ， P_{2} (x_{2} ， y_{2})$ 为曲线 $C$ 上任意两点，则有 $\frac{y_{1} - y_{2}}{x_{1} - x_{2}} < 0$ ，下列判断正确的是（）

A、①和②均为真命题 B、①和②均为假命题 C、①为真命题，②为假命题 D、①为假命题，②为真命题

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16. 已知 $n \in N^{*}$ ，记 $m a x {x_{1} ， ⋯ ， x_{n}}$ 表示 $x_{1} ， ⋯ ， x_{n}$ 中的最大值， $m i n {y_{1} ， ⋯ ， y_{n}}$ 表示 $y_{1} ， ⋯ ， y_{n}$ 中的最小值，若 $f (x) = x^{2} - 3 x + 2 ， g (x) = 2^{x} - 1$ ，数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = m i n {f (a_{n}) ， g (a_{n})} ， b_{n + 1} = m a x {b_{n} ， g (b_{n})} ，$ $a_{1} = a ， b_{1} = b ， a ， b \in R$ ，则下列说法中正确的是（）

A、若 $a \geq 4$ ，则存在正整数 $m$ ，使得 $a_{m + 1} < a_{m}$ B、若 $a \leq 2$ ，则 $\underset{n \to + \infty}{l i m} a_{n} = 0$ C、若 $b \geq 2$ ，则 $\underset{n \to + \infty}{l i m} b_{n} = 0$ D、若 $b \in R$ ，则存在正整数 $m$ ，使得 $b_{m + 1} < b_{m}$

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三、解答题

17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为 $2$ 的正方形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P C$ 与平面 $A B C D$ 所成角的大小为 $\frac{π}{3}$ ， $M$ 为 $P A$ 中点.

(1)、求四棱锥 $P - A B C D$ 的体积；

(2)、求异面直线 $B M$ 与 $P C$ 所成角的大小 (结果用反三角函数值表示).

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18. 已知向量 $\vec{m} = (\frac{1}{2} ， \frac{1}{2} s i n 2 x + \frac{\sqrt{3}}{2} c o s 2 x) ， n = (f (x) ， - 1)$ ，且 $m ⊥ n$ ，

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $x \in [0 ， π]$ 上的单调递减区间；

(2)、已知 $△ A B C$ 的三个内角分别为 $A ， B ， C$ ，其对应边分别为 $a ， b ， c$ ，若有 $f (A - \frac{π}{12}) = 1$ ， $B C = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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19. 某公司经过测算，计划投资 $A ， B$ 两个项目. 若投入 $A$ 项目资金 $x$ (万元)，则一年创造的利润为 $\frac{x}{2}$ (万元)：若投入 $B$ 项目资金 $x$ (万元)，则一年创造的利润为 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{10 x}{30 - x} ， & 0 \leq x \leq 20 \\ 20 ， & x > 20 \end{array}$ （万元）.

(1)、当投入 $A ， B$ 两个项目的资金相同且 $B$ 项目比 $A$ 项目创造的利润高，求投入 $A$ 项目的资金 $x$ (万元)的取值范围；

(2)、若该公司共有资金30万，全部用于投资 $A ， B$ 两个项目，则该公司一年分别投入 $A ， B$ 两个项目多少万元，创造的利润最大.

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20. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，一动圆经过点 $A (\frac{1}{2} ， 0)$ 且与直线 $x = - \frac{1}{2}$ 相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线 $K$ ， $P$ 是曲线 $K$ 上一点.

(1)、求曲线 $K$ 的方程；

(2)、过点 $A$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与曲线 $K$ 交于 $B ， C$ 两点，若 $l / / O P$ 且直线 $O P$ 与直线 $x = 1$ 交于 $Q$ 点，求 $\frac{| A B | \cdot | A C |}{| O P | \cdot | O Q |}$ 的值；

(3)、若点 $D ， E$ 在 $y$ 轴上， $△ P D E$ 的内切圆的方程为 $(x - 1)^{2} + y^{2} = 1$ ，求 $△ P D E$ 面积的最小值.

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21. 设有数列 ${x_{n}} (n \in N^{*})$ ，对于给定的 $i (i \in N^{*})$ ，记满足不等式： $x_{j} - x_{i} \geq t_{i} (j - i)$ $(j \in N^{*} ， j \neq i)$ 的 $t_{i}$ 构成的集合为 $T (i)$ ，并称数列 ${x_{n}}$ 具有性质 $X$ .

(1)、若 $t_{i} = 1 ， j > i$ ，数列： $2 ， 2 m + 2 ， m^{2}$ 具有性质 $X$ ，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $t_{i} = 2 ， j > i$ ，数列 ${a_{n}}$ 是各项均为正整数且公比大于1的等比数列，且数列 ${a_{n}}$ 不具有性质 $X$ ，设 $b_{n} = \frac{a_{n + 1}}{n + 1} (n \in N^{*})$ ，试判断数列 ${b_{n}}$ 是否具有性质 $X$ ，并说明理由；

(3)、若数列 ${c_{n}}$ 具有性质 $X$ ，当 $i > 1$ 时， $T (i)$ 都为单元素集合，求证：数列 ${c_{n}}$ 是等差数列.

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