上海市松江区2022届高三数学一模试卷

试卷更新日期：2022-01-11 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、填空题

1. 已知集合 $A = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5} ， B = {x ∣ 2 x - 6 < 0}$ ，则 $A ∩ B =$ .

查看试题解析
2. 计算： $\underset{n \to \infty}{l i m} \frac{n^{2} + 2}{n (n - 1)} =$ .

查看试题解析
3. 已知复数 $z = 1 + i$ （其中 $i$ 是虚数单位），则 $z^{2} + z =$ .

查看试题解析
4. 关于 $x ， y$ 的方程组 ${\begin{array}{l} x - 2 y = 1 \\ 3 x + y = - 1 \end{array}$ 的增广矩阵为.

查看试题解析
5. $(x^{2} + \frac{1}{x})^{5}$ 的展开式中， $x^{4}$ 的系数为．（用数字作答）

查看试题解析
6. 若抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上一点 $P$ 到 $y$ 轴的距离是4，则点 $P$ 到该抛物线焦点的距离是.

查看试题解析
7. 已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则该圆锥的体积为 .

查看试题解析
8. 第24届冬奥会将于2022年2月4日20日在北京-张家口举行，某大学从7名志愿者中选出4人分别从事对外联络､场馆运行､文化展示､赛会综合这四项服务中的某一项工作，则不同的选派方案共有种.

查看试题解析
9. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n ω x + c o s ω x (ω > 0)$ ，若 $f (x) ⩽ f (\frac{π}{4})$ 对任意的实数 $x$ 都成立，则 $ω$ 的最小值为.

查看试题解析
10. 已知 $a > 0 ， b > 0$ ，且 $\frac{1}{a + 2} + \frac{2}{b} = \frac{2}{3}$ ，则 $2 a + b$ 的最小值为.

查看试题解析
11. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = 2$ ，且对任意 $m ， n \in N^{*} (m \neq n)$ ，存在 $k \in N^{*}$ ，使得 $a_{m} + a_{n} = a_{k}$ 成立，则 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5}$ 的最小值为.

查看试题解析
12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x - \frac{8}{x} & x < 0 \\ | x - a | & x \geq 0 \end{array}$ ，若对任意的 $x_{1} \in [2 ， + \infty)$ ，都存在 $x_{2} \in [- 2 ， - 1]$ ，使得 $f (x_{1}) \cdot f (x_{2}) \geq a$ ，则实数 $a$ 的取值范围为.

查看试题解析

二、单选题

13. 已知角 $α$ 的终边经过点 $P (3 ， 4)$ ，将角 $α$ 的终边绕原点 $O$ 逆时针旋转 $\frac{π}{2}$ 得到角 $β$ 的终边，则 $t a n β$ 等于（）

A、 $- \frac{4}{3}$ B、 $- \frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $- \frac{5}{4}$

查看试题解析
14. 某校有高一学生390人，高二学生360人，高三学生345人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取部分学生作为样本.若从高二学生中抽取的人数为24人，则高一学生和高三学生应抽取的人数分别为（）

A、高一学生26人､高三学生23人 B、高一学生28人､高三学生21人 C、高一学生多于24人､高三学生少于24人即可 D、高一､高三学生人数都不限

查看试题解析
15. 如图，已知点 $A \in$ 平面 $α$ ，点 $O \in α$ ，直线 $a \subset α$ ，点 $P \notin α$ 且 $P O ⊥ α$ ，则“直线 $a ⊥$ 直线 $O A$ ”是“直线 $a ⊥$ 直线 $P A$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
16. 已知正六边形 $A B C D E F$ 的边长为2，当 $λ_{i} \in {- 1 ， 1} (i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5)$ 时， $| λ_{1} \vec{A B} + λ_{2} \vec{A C} + λ_{3} \vec{A D} + λ_{4} \vec{A E} + λ_{5} \vec{A F} |$ 的最大值为（）

A、6 B、12 C、18 D、 $8 + 4 \sqrt{3}$

查看试题解析

三、解答题

17. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，已知 $A B = B C = B B_{1} = 2 ， A B ⊥ B C ， D$ 为 $A B$ 的中点.

(1)、求异面直线 $B C_{1}$ 与 $D C$ 所成角的大小（用反三角函数表示）；

(2)、求证： $B C_{1}$ $∥$ 平面 $A_{1} C D$ .

查看试题解析
18. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ､ B ､ C$ 所对边分别为 $a ､ b ､ c$ ，已知 $c s i n C - b s i n B = a (s i n A - s i n B) .$

(1)、求角 $C$ 的值；

(2)、若 $c = 3$ ，求 $△ A B C$ 周长的最大值.

查看试题解析

19. 以太阳能和风能为代表的新能源发电具有取之不尽､零碳排放等优点.近年来我国新能源发电的装机容量快速增长，学校新能源发电研究课题组的同学通过查阅相关资料，整理出《2015-2020年全国各类发电装机容量统计表（单位：万万千瓦）》.

年份	传统能源发电			新能源发电		总装机容量
年份	火力发电	水力发电	核能发电	太阳能发电	风能发电	总装机容量
2015	10.06	3.20	0.27	0.43	1.31	15.27
2016	10.60	3.32	0.34	0.76	1.47	16.49
2017	11.10	3.44	0.36	1.30	1.64	17.84
2018	11.44	3.53	0.45	1.74	1.84	19.00
2019	11.90	3.56	0.49	2.10	2.05	20.10
2020	12.45	3.70	0.50	2.53	2.82	22.00

请根据上表提供的数据，解决课题小组的两个问题：

(1)、2015年至2020年期间，我国发电总装机容量平均每年比上一年增加多少万万千瓦（精确到0.01）？同期新能源发电装机容量的年平均增长率是多少（精确到0.1%）？

(2)、假设从2021年开始，我国发电总装机容量平均每年比上一年增加2万万千瓦，新能源发电装机容量的年平均增长率为

20 %

，问从哪一年起，我国新能源发电装机容量首次超过发电总装机容量的

60 %

？

查看试题解析

20. 已知双曲线 $Γ ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的焦距为 $2 \sqrt{3}$ 渐近线方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ .

(1)、求双曲线 $Γ$ 的方程；

(2)、若对任意的 $m \in R$ ，直线 $y = k x + m$ 与双曲线 $Γ$ 总有公共点，求实数 $k$ 的取值范围；

(3)、若过点 $(1 ， 0)$ 的直线 $l$ 与双曲线 $Γ$ 交于M、N两点，问在 $x$ 轴上是否存在定点 $P$ ，使得 $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 为常数？若存在，求出点 $P$ 的坐标及此常数的值，若不存在，请说明理由.

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，若存在常数 $k$ 和 $A$ ，对任意的 $x \in R$ ，都有 $| f (x) - k x | \leq A$ 成立，则称函数 $f (x)$ 为“拟线性函数”，其中数组 $(k ， A)$ 称为函数 $f (x)$ 的拟合系数.

(1)、数组 $(2 ， 1)$ 是否是函数 $g (x) = \frac{2 x^{3}}{1 + x^{2}}$ 的拟合系数？

(2)、判断函数 $s (x) = x s i n x$ 是否是“拟线性函数”，并说明理由；

(3)、若奇函数 $h (x)$ 在区间 $[0 ， p] (p > 0)$ 上单调递增，且 $h (x)$ 的图像关于点 $(p ， q)$ 成中心对称（其中 $p ， q$ 为常数），证明： $h (x)$ 是“拟线性函数”.

查看试题解析