上海市青浦区2022届高三数学一模试卷

试卷更新日期：2022-01-11 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、填空题

1. 若全集 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6} ， M = {1 ， 3 ， 4} ， N = {2 ， 3 ， 4}$ ，则集合 $∁_{U} (M ∩ N) =$ .

查看试题解析
2. 不等式 $\frac{1}{x - 1} < 1$ 的解集是.

查看试题解析
3. 已知 ${a_{n}}$ 为等差数列， ${a_{n}}$ 的前5项和 $S_{5} = 20$ ， $a_{5} = 6$ ，则 $a_{10} =$ ．

查看试题解析
4. 已知 $f (x)$ 的图象经过点 $(2 ， 3)$ ， $f (x)$ 的反函数为 $f^{- 1} (x)$ ，则 $f^{- 1} (x - 2)$ 的图象必经过点.

查看试题解析
5. ${(x + \frac{1}{x})}^{9}$ 的二项展开式中 $x^{3}$ 项的系数为

查看试题解析
6. 一个圆锥的侧面展开图是圆心角为 $\frac{4 π}{3}$ ，半径为18 cm的扇形，则圆锥的母线与底面所成角的余弦值为.

查看试题解析
7. 已知双曲线中心在原点且一个焦点为 $F (\sqrt{7} ， 0)$ ，直线 $y = x - 1$ 与其相交于 $M$ ， $N$ 两点， $M N$ 中点横坐标为 $- \frac{2}{3}$ ，则此双曲线的方程是.

查看试题解析
8. 设向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，定义 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的“向量积”： $\vec{a} \times \vec{b}$ 是一个向量，它的模 $| \vec{a} \times \vec{b} | = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot s i n θ$ ，若 $\vec{a} = (- \frac{\sqrt{3}}{2} ， - \frac{1}{2})$ ， $\vec{b} = (\frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，则 $| \vec{a} \times \vec{b} | =$ .

查看试题解析
9. 把1､2､3､4､5这五个数随机地排成一个数列，要求该数列恰好先递增后递减，则这样的数列共有.

查看试题解析
10. 已知函数 $y = \sqrt{5} s i n x + \sqrt{5} c o s x$ 的图像向右平移 $θ (0 < θ < \frac{π}{2})$ 个单位得到函数 $y = 3 s i n x + a c o s x (a < 0)$ 的图像，则 $t a n θ =$ .

查看试题解析
11. 已知函数f（x）＝ ${\begin{array}{l} x^{2} - x + 3 ， x \leq 1 \\ x + \frac{2}{x} ， x > 1 \end{array}$ ，设a∈R，若关于x的不等式f(x) $\geq | \frac{x}{2} + a |$ 在R上恒成立，则a的取值范围是.

查看试题解析
12. 若数列： $c o s α ､ c o s 2 α ， c o s 4 α ， ⋯ ， c o s 2^{n} α ､ ⋯$ 中的每一项都为负数，则实数 $α$ 的所有取值组成的集合为.

查看试题解析

二、单选题

13. 下列条件中，能够确定一个平面的是（）

A、两个点 B、三个点 C、一条直线和一个点 D、两条相交直线

查看试题解析
14. 已知公差为 $d$ 的等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则“ $S_{n} - n a_{n} < 0$ ，对 $n > 1$ ， $n \in N^{*}$ 恒成立”是“ $d > 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
15. 已知 $z$ 均为复数，则下列命题不正确的是（）

A、若 $z = \bar{z}$ 则 $z$ 为实数 B、若 $z^{2} < 0$ ，则 $z$ 为纯虚数 C、若 $| z + 1 | = | z - 1 |$ ，则 $z$ 为纯虚数 D、若 $z^{3} = 1$ ，则 $z = z^{2}$

查看试题解析
16. 从圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} = 4$ 上的一点向圆 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} = 1$ 引两条切线，连接两切点间的线段称为切点弦，则圆 $C_{2}$ 内不与任何切点弦相交的区域面积为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

查看试题解析

三、解答题

17. 在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ，连接 $A_{1} C_{1} ､ C_{1} B ､ A_{1} B$ ，得到三棱锥 $B_{1} - A_{1} B C_{1}$ 的体积为2，点 $P ､ Q$ 分别为 $A_{1} D$ 和 $A C$ 的中点.

(1)、求正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的表面积；

(2)、求异面直线 $D_{1} P$ 与 $C_{1} Q$ 所成角的大小.

查看试题解析
18. 已知 $f (x) = \sqrt{3} c o s 2 x + 2 s i n (\frac{3 π}{2} + x) s i n (π - x)$ ， $x \in R$ ，

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期及单调递减区间；

(2)、已知锐角 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $f (A) = - \sqrt{3}$ ， $a = 4$ ，求 $B C$ 边上的高的最大值．

查看试题解析
19. 考虑到高速公路行车安全需要，一般要求高速公路的车速 $v$ （公里/小时）控制在 $[60 ， 120]$ 范围内.已知汽车以 $v$ 公里/小时的速度在高速公路上匀速行驶时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为 $\frac{1}{5} (v - k + \frac{4500}{v})$ 升，其中 $k$ 为常数，不同型号汽车 $k$ 值不同，且满足 $60 \leq k \leq 120$ .

(1)、若某型号汽车以120公里/小时的速度行驶时，每小时的油耗为 $11.5$ 升，欲使这种型号的汽车每小时的油耗不超过9升，求车速 $v$ 的取值范围；

(2)、求不同型号汽车行驶100千米的油耗的最小值.

查看试题解析
20. 已知抛物线 $y^{2} = x$ .

(1)、过抛物线焦点 $F$ 的直线交抛物线于 $A ､ B$ 两点，求 $\vec{O A} \cdot \vec{O B}$ 的值（其中 $O$ 为坐标原点）；

(2)、过抛物线上一点 $C (x_{0} ， y_{0})$ ，分别作两条直线交抛物线于另外两点 $P (x_{P} ， y_{P})$ ､ $Q (x_{Q} ， y_{Q})$ ，交直线 $x = - 1$ 于 $A_{1} (- 1 ， 1) ､ B_{1} (- 1 ， - 1)$ 两点，求证： $y_{P} \cdot y_{Q}$ 为常数

(3)、已知点 $D (1 ， 1)$ ，在抛物线上是否存在异于点 $D$ 的两个不同点 $M ､ N$ ，使得 $D M ⊥ M N ?$ 若存在，求 $N$ 点纵坐标的取值范围，若不存在，请说明理由.

查看试题解析
21. 如果数列 ${a_{n}}$ 每一项都是正数，且对任意不小于2的正整数 $n$ 满足 $a_{n}^{2} \leq a_{n - 1} a_{n + 1}$ ，则称数列 ${a_{n}}$ 具有性质 $M$ .

(1)、若 $a_{n} = p \cdot q^{n} ， b_{n} = a n + b$ （ $p ､ q ､ a ､ b$ 均为正实数），判断数列 ${a_{n}} ､ {b_{n}}$ 是否具有性质 $M$ ；

(2)、若数列 ${a_{n}} ､ {b_{n}}$ 都具有性质 $M ， c_{n} = a_{n} + b_{n}$ ，证明：数列 ${c_{n}}$ 也具有性质 $M$ ；

(3)、设实数 $a \geq 2$ ，方程 $x^{2} - a x + 1 = 0$ 的两根为 $x_{1} ､ x_{2} ， a_{n} = x_{1}^{n} + x_{2}^{n} (n \in N^{*})$ ，若 $\frac{a_{1}}{a_{2}} + \frac{a_{2}}{a_{3}} + ⋯ + \frac{a_{n}}{a_{n + 1}} > n - 1$ 对任意 $n \in N^{*}$ 恒成立，求所有满足条件的 $a$ .

查看试题解析