上海市普陀区2022届高三数学一模试卷

试卷更新日期：2022-01-11 类型：高考模拟

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一、填空题

1. 若集合 ${a ， 2} \cup {3} = {2 ， 3}$ ，则实数 $a =$ .

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2. 不等式 $\frac{1}{x + 1} > 1$ 的解集为.

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3. 设 $i$ 为虚数单位，若复数 $z = (1 + 2 i) (2 - i)$ ，则 $z$ 的实部与虚部的和为.

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4. 设关于 $x ､ y$ 的二元一次方程组的增广矩阵为 $(\begin{array}{l} 3 & - 1 & 2 \\ 1 & - m & 1 \end{array})$ ，若 $D_{x} = 3$ ，则实数 $m =$ .

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5. 已知圆锥的侧面积为 $\frac{2 π}{9}$ ，若其过轴的截面为正三角形，则该圆锥的母线的长为.

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6. 若 ${(x^{2} - 1)}^{7} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + ⋯ + a_{14} x^{14}$ ，则 $a_{5} + a_{8} =$ .

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7. 在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，若平面 $O M Q$ 的一个法向量 $\vec{n} = (2 ， 1 ， - 2)$ ，则点 $P (- 1 ， 1 ， 4)$ 到平面 $O M Q$ 的距离为.

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8. 设无穷等比数列 ${a_{n}} (n \in N^{*})$ 的首项 $a > 0$ ，前两项的和为 $\frac{1}{3}$ ，若所有奇数项的和比所有偶数项的和大3，则 $a =$ .

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9. 设非空集合 $Q \subseteq M$ ，当 $Q$ 中所有元素和为偶数时（集合为单元素时和为元素本身），称 $Q$ 是 $M$ 的偶子集，若集合 $M = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7}$ ，则其偶子集 $Q$ 的个数为.

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10. 由于疫情防控需要，某地铁站每天都对站内进行消毒工作，设在药物释放过程中，站内空气中的含药量 $y$ （毫克/每立方米）与时间 $x (0 < x < \frac{1}{3})$ （小时）成正比.药物释放完毕后， $y$ 与 $x$ 满足关系 $y = 9^{b - x}$ （ $b$ 常数， $x \geq \frac{1}{3}$ ）.据测定，空气中每立方米的含药量降低到 $\frac{1}{3}$ 毫克以下时，乘客方可进站，则地铁站应安排工作人员至少提前分钟进行消毒工作.

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11. 设二次函数 $f (x) = m x^{2} - 2 x + n (m ， n \in R)$ ，若函数 $f (x)$ 的值域为 $[0 ， + ∞)$ ，且 $f (1) \leq 2$ ，则 $\frac{m^{2}}{n^{2} + 1} + \frac{n^{2}}{m^{2} + 1}$ 的取值范围为.

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12. 若向量 $\vec{M A}$ 、 $\vec{M B}$ 的夹角为 $\frac{π}{6}$ ，且 $| \vec{M A} - \vec{M B} | = 2$ ，则 $| 2 \vec{M A} + \vec{M B} |$ 的最大值为.

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二、单选题

13. 设 $a$ 、 $m$ 是实数，则“ $m = 5$ ”是“ $m$ 为 $a$ 和 $10 - a$ 的等差中项”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、非充分也非必要条件

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14. 设函数 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 的反函数是 $f^{- 1} (x)$ ，若对任意的 $x \in (0 ， 1)$ ，则 $f (x)$ 与 $f^{- 1} (x)$ 的大小关系为（）

A、 $f (x) > f^{- 1} (x)$ B、 $f (x) = f^{- 1} (x)$ C、 $f (x) < f^{- 1} (x)$ D、不能确定

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15. 设点 $F_{1} ､ F_{2}$ 是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 的左､右两焦点，点 $M$ 是 $C$ 的右支上的任意一点，若 $\vec{F_{2} M} \cdot \vec{F_{2} F_{1}} > 0$ ，则 $| M F_{1} | + | M F_{2} |$ 的值可能是（）

A、4 B、 $2 \sqrt{6}$ C、5 D、 $3 \sqrt{3}$

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16. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x | x + 2 a | ， x < - 1 \\ 0.5 + l o g_{a} (x + 2) ， x \geq - 1 \end{array}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）在区间 $(- \infty ， + \infty)$ 上是单调函数，若函数 $g (x) = | f (x) | - | a x - \frac{1}{2} |$ 有三个不同的零点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{2}]$ B、 $(\frac{1}{8} ， \frac{1}{4}]$ C、 $(\frac{1}{6} ， \frac{1}{2}]$ D、 $(\frac{1}{6} ， \frac{1}{4}]$

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三、解答题

17. 如图所示，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C ， C D ⊥ A B$ 于 $D$ 点， $P A = A B = 4$ .

(1)、求证： $C D ⊥ P B$ ；

(2)、若三棱锥 $P - A B C$ 的体积为 $\frac{16}{3} ， ∠ A C B = \frac{π}{2}$ ，求 $P C$ 与平面 $P A B$ 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）

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18. 设函数 $f (x) = \sqrt{2} s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < π)$ ，该函数图象上相邻两个最高点之间的距离为 $4 π$ ，且 $f (x)$ 为偶函数.

(1)、求 $ω$ 和 $ϕ$ 的值；

(2)、在 $△ A B C$ 中，角 $A ､ B ､ C$ 的对边分别为 $a ､ b ､ c$ ，若 $(2 a - c) c o s B = b c o s C$ ，求 $f^{2} (A) + f^{2} (C)$ 的取值范围.

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19. 如图所示，边长为2（百米）的正方形 $A B C D$ 区域是某绿地公园的一个局部，环线 $A E F C D A$ 是修建的健身步道（不计宽度），其中弯道段 $E F$ 是抛物线的一段，该抛物线的对称轴与 $A D$ 平行，端点 $E$ 是该抛物线的顶点且为 $A B$ 的中点，端点 $F$ 在 $B C$ 上，且 $F B$ 长为 $0.5$ （百米），建立适当的平面直角坐标系，解决下列问题.

(1)、求弯道段 $E F$ 所确定的函数 $y = f (x)$ 的表达式；

(2)、绿地管理部门欲在弯道段 $E F$ 上选取一点 $P$ 安装监控设备，使得点 $P$ 处监测 $C D$ 段的张角 $(∠ C P D)$ 最大，求点 $P$ 的坐标.

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20. 已知点 $M (x ， y)$ 与定点 $F (1 ， 0)$ 的距离是点 $M$ 到直线 $x - 2 = 0$ 距离的 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 倍，设点 $M$ 的轨迹为曲线 $Γ$ ，直线 $l ： x + m y + 1 = 0 (m \in R)$ 与 $Γ$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，点 $C$ 是线段 $A B$ 的中点， $P$ 、 $Q$ 是 $Γ$ 上关于原点 $O$ 对称的两点，且 $\vec{P O} = λ \vec{O C} (λ > 0)$ .

(1)、求曲线 $Γ$ 的方程；

(2)、当 $λ = \sqrt{3}$ 时，求直线 $l$ 的方程；

(3)、当四边形 $P A Q B$ 的面积 $S = \sqrt{6}$ 时，求 $λ$ 的值.

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21. 设 $q$ ､ $d$ 为常数，若存在大于1的整数 $k$ ，使得无穷数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = {\begin{array}{l} a_{n} + d ， \frac{n}{k} \notin N^{*} \\ q a_{n} ， \frac{n}{k} \in N^{*} \end{array}$ ，则称数列 ${a_{n}} (n \in N^{*})$ 为“ $M (k)$ 数列”.

(1)、设 $d = 3 ， q = 0$ ，若首项为1的数列 ${a_{n}}$ 为“ $M$ （3）数列”，求 $a_{2021}$ ；

(2)、若首项为1的等比数列 ${b_{n}}$ 为“ $M (k)$ 数列”，求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式，并指出相应的 $k ､ d ､ q$ 的值；

(3)、设 $d = 1 ， q = 2$ ，若首项为1的数列 ${c_{n}}$ 为“ $M (10)$ 数列”，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $10 n$ 项和 $S_{10 n}$ .

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