上海市浦东新区2022届高三上学期数学一模试卷

试卷更新日期：2022-01-11 类型：高考模拟

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一、填空题

1. 已知复数z=1+2i（i是虚数单位），则|z|= ．

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2. 函数 $f (x) = \sqrt{x} + 1$ 的反函数为 $f^{- 1} (x)$ ，则 $f^{- 1} (3) =$ .

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3. 已知 $c o s θ = - \frac{3}{5}$ ，则 $c o s 2 θ$ 的值为.

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4. 已知集合 $A = {x | - 1 < x < 1}$ ， $B = {x | \frac{x}{x - 2} < 0}$ ，则 $A ∩ B =$ .

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5. 底面半径长为 $2$ ，母线长为 $3$ 的圆柱的体积为.

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6. 三阶行列式 $| \begin{array}{l} 1 & 2 & 5 \\ 1 & 4 & 3 \\ 3 & 5 & 6 \end{array} |$ 中，元素2的代数余子式的值为.

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7. 数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = {\begin{array}{l} 2 n - 1_{} (1 \leq n \leq 10) \\ 2 - {\frac{1}{n}}_{_{}} \begin{array}{l} (n \geq 11) \end{array} \end{array}$ ，则 $\underset{n \to \infty}{l i m} a_{n} =$ .

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8. 方程 $l o g_{2} (x + 1) + l o g_{2} (x - 1) = 1$ 的解为.

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9. 已知函数 $f (x) = x^{2} + 2 x + 3 + m$ ，若 $f (x) ≥ 0$ 对任意的 $x \in [1 ， 2]$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是.

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10. 某学校要从6名男生和4名女生中选出3人担任进博会志愿者，则所选3人中男女生都有的概率为.（用数字作答）

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11. 已知 $A (- 1 ， 0)$ 、 $B (1 ， 0)$ 、 $P (1 ， \sqrt{3})$ ，点 $C$ 是圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上的动点，则 $\vec{P C} \cdot \vec{P B} + \vec{P C} \cdot \vec{P A}$ 的取值范围是.

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12. 已知实数 $x ， y$ 满足 $\frac{x | x |}{4} + y | y | = 1$ ，则 $| x + 2 y - 4 |$ 的取值范围是.

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二、单选题

13. 已知直线 $a$ 在平面 $β$ 上，则“直线 $l ⊥$ $a$ ”是“直线 $l ⊥$ $β$ ”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分又非必要条件

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14. $(x - 1)^{10}$ 的二项展开式中第4项是（）

A、 $C_{10}^{3} x^{7}$ B、 $C_{10}^{4} x^{6}$ C、 $- C_{10}^{3} x^{7}$ D、 $- C_{10}^{4} x^{6}$

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15. 若方程 $4 x^{2} + k y^{2} = 4 k$ 表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于（）

A、 $2 \sqrt{k}$ B、 $2 \sqrt{- k}$ C、 $\sqrt{k}$ D、 $\sqrt{- k}$

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16. 函数 $f (x) = s i n x - \frac{1}{2}$ ， $x \in [t ， t + 40]$ 零点的个数不可能是（）

A、12个 B、13个 C、14个 D、15个

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三、解答题

17. 已知三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A$ 、 $B A$ 、 $C A$ 两两互相垂直，且长度均为1.

(1)、求三棱锥 $P - A B C$ 的全面积；

(2)、若点 $D$ 为 $B C$ 的中点，求 $P D$ 与平面 $P A C$ 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）

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18. 已知函数 $f (x) = x^{2} + a x + 1$ ， $a \in R$ .

(1)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性，并说明理由；

(2)、若函数 $g (x) = \frac{f (x)}{x} (x > 0)$ ，写出函数 $g (x)$ 的单调递增区间并用定义证明.

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19. 某水产养殖户承包一片靠岸水域.如图， $A O$ 、 $O B$ 为直线岸线， $O A = 1000$ 米， $O B = 1500$ 米， $∠ A O B = \frac{π}{3}$ ，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧 $\overset{⌢}{A B}$ ，过弧 $\overset{⌢}{A B}$ 上一点 $P$ 按线段 $P A$ 和 $P B$ 修建养殖网箱，已知 $∠ A P B = \frac{2 π}{3}$ .

(1)、求岸线上点 $A$ 与点 $B$ 之间的直线距离；

(2)、如果线段 $P A$ 上的网箱每米可获得40元的经济收益，线段 $P B$ 上的网箱每米可获得30元的经济收益.记 $∠ P A B = θ$ ，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少？（精确到元）

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20. 已知斜率为的直线 $l$ 经过抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点 $F$ ，且与抛物线 $C$ 交于不同的两点 $A (x_{1} ， y_{1})$ 、 $B (x_{2} ， y_{2})$ .

(1)、若点 $A$ 和 $B$ 到抛物线准线的距离分别为 $\frac{3}{2}$ 和 $3$ ，求 $| A B |$ ；

(2)、若 $| A F | + | A B | = 2 | B F |$ ，求 $k$ 的值；

(3)、点 $M (t ， 0)$ ， $t > 0$ ，对任意确定的实数 $k$ ，若 $△ A M B$ 是以 $A B$ 为斜边的直角三角形，判断符合条件的点 $M$ 有几个，并说明理由.

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ ，若存在 $A \in R$ 使得数列 ${| a_{n} - A |}$ 是递减数列，则称数列 ${a_{n}}$ 是“ $A$ 型数列”.

(1)、判断数列 $π$ ， $- \sqrt{3} ， - 1 ， \frac{1}{2}$ 是否为“ $0$ 型数列”；

(2)、若等比数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = q^{n}$ （ $n \in N^{*}$ ）， $q > 0$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 ${S_{n}}$ 是“ $A$ 型数列”，求 $A$ 的值和 $q$ 的取值范围；

(3)、已知 $k > 0$ ，数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 0$ ， $a_{n + 1} = k | a_{n} | - 1$ （ $n \in N^{*}$ ），若存在 $A \in R$ ，使得 ${a_{n}}$ 是“ $A$ 型数列”，求 $k$ 的取值范围，并求出所有满足条件的 $A$ （用 $k$ 表示）.

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