上海市闵行区2022届高三上学期数学一模试卷

试卷更新日期：2022-01-11 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 若直线l的一个方向向量为 $(1 ， - 3)$ ，则l的法向量可以是（）

A、 $(- 3 ， 1)$ B、 $(- 1 ， - 3)$ C、 $(3 ， 1)$ D、 $(1 ， 3)$

查看试题解析
2. 在空间中，直线AB平行于直线EF，直线BC､EF为异面直线，若 $∠ A B C = 12 0^{∘}$ ，则异面直线BC､EF所成角的大小为（）

A、 $3 0^{∘}$ B、 $6 0^{∘}$ C、 $12 0^{∘}$ D、 $15 0^{∘}$

查看试题解析
3. 已知实数 $x_{1} ， y_{1} ， x_{2} ， y_{2} ， x_{3} ， y_{3}$ 满足 $x_{1}^{2} + y_{1}^{2} = x_{2}^{2} + y_{2}^{2} = x_{3}^{2} + y_{3}^{2} = 2$ ，则 $x_{1} y_{2} ， x_{2} y_{3} ， x_{3} y_{1}$ 三个数中，大于1的个数最多是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

查看试题解析
4. 设函数 $f (x) = 2^{x} - 2^{- x} + \frac{3}{| x | + 1} ， x \in R$ ，对于实数a､b，给出以下命题：命题 $p_{1} ： a + b ⩾ 0$ ；命题 $p_{2} ： a - b^{2} ⩾ 0$ ；命题 $q ： f (a) + f (b) ⩾ 0$ .下列选项中正确的是（）

A、 $p_{1} ､ p_{2}$ 中仅 $p_{1}$ 是 $q$ 的充分条件 B、 $p_{1} ､ p_{2}$ 中仅 $p_{2}$ 是 $q$ 的充分条件 C、 $p_{1} ､ p_{2}$ 都不是 $q$ 的充分条件 D、 $p_{1} ､ p_{2}$ 都是 $q$ 的充分条件

查看试题解析

二、填空题

5. 函数 $f (x) = l o g_{2} (1 - x^{2})$ 的定义域为.

查看试题解析
6. 已知集合 $A = {3 ， m} ， B = {m ， m + 1}$ ，若 $A \cap B = {4}$ ，则 $A \cup B =$ .

查看试题解析
7. 已知复数z的虚部为1，且 $| z | = 2$ ，则z在复平面内所对应的点z到虚轴的距离为.

查看试题解析
8. 若函数 $f (x) = x^{3} - 3$ 的反函数为 $y = f^{- 1} (x)$ ，则方程 $f^{- 1} (x) = 0$ 的根为.

查看试题解析
9. 函数 $y = | \begin{array}{l} s i n x & 1 \\ 0 & c o s x \end{array} |$ 的最小正周期为.

查看试题解析
10. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = 3 ， a_{9} = 27$ ，则 $S_{22} =$ .

查看试题解析
11. 若 ${(2 x + \frac{a}{x})}^{6}$ 的二项展开式中的常数项为-160，则实数a=.

查看试题解析
12. 已知椭圆 $\frac{(n + 1) x^{2}}{4 n + 1} + \frac{(n + 2) y^{2}}{n + 1} = 1$ 的右焦点为 $F_{n} (c_{n} ， 0)$ ，其中 $n \in N^{*}$ ，则 $\underset{n \to \infty}{l i m} c_{n} =$ .

查看试题解析
13. 若点 $P (c o s θ ， s i n θ)$ 与点 $Q (c o s (θ + \frac{π}{2}) ， s i n (θ + \frac{π}{2}))$ 关于直线 $3 x - y = 0$ 对称，则 $t a n θ =$ .

查看试题解析

14. 某学校为落实“双减”政策，在每天放学后开设拓展课程供学生自愿选择，开学第一周的安排见如表.小明同学要在这一周内选择编程､书法､足球三门课，不同的选课方案共种.

周一	周二	周三	周四	周五
演讲､绘画､舞蹈､足球	编程､绘画､舞蹈､足球	编程､书法､舞蹈､足球	书法､演讲､舞蹈､足球	书法､演讲､舞蹈､足球
注：每位同学每天最多选一门课，每一门课一周内最多选一次

查看试题解析

15. 已知 $f (x) = 1 + a x - \sqrt{1 + a x^{2}}$ 若对任意 $x \in [0 ， \sqrt{2}]$ ， $f (x) \leq 0$ 恒成立，则实数a的取值范围为.

查看试题解析
16. 已知 $D = (10 ， t)$ ，数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1}^{2} + a_{n}^{2} = 2 (a_{n + 1} + 1) (a_{n} - 1) + 1 ， n \in N^{*}$ .若对任意正实数λ，总存在 $a_{1} \in D$ 和相邻两项 $a_{k} ， a_{k + 1}$ ，使得 $a_{k + 1} + λ a_{k} = 0$ 成立，则实数 $t$ 的最小值为.

查看试题解析

三、解答题

17. 如图，圆锥的底面直径与母线长均为4，PO是圆锥的高，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线PA的中点.

(1)、求该圆锥的体积；

(2)、求直线CD与平面PAB所成角的大小.

查看试题解析
18. 已知 $x \in R ， \vec{m} = (2 c o s x ， 2 \sqrt{3} s i n x) ， \vec{n} = (c o s x ， c o s x)$ ，

(1)、设 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ ，求函数 $y = f (x)$ 的解析式及最大值；

(2)、设△ABC的三个内角A､B､C的对边分别为a､b､c，当 $x = A$ 时， $\vec{m} = a \vec{n}$ ，且 $c = 2 \sqrt{3}$ ，求△ABC的面积.

查看试题解析
19. 如图，某飞行器研究基地E在指挥中心F的正北方向4千米处，小镇A在E的正西方向8千米处，小镇B在F的正南方向8千米处.已知一新型飞行器在试飞过程中到点F和到直线AE的距离始终相等，该飞行器产生一定的噪音污染，距离该飞行器1千米以内（含边界）为10级噪音，每远离飞行器1千米，噪音污染就会减弱1级，直至0级为无噪音污染（飞行器的大小及高度均忽略不计）.

(1)、判断该飞行器是否经过线段EF的中点O，并判断小镇A是否会受到该飞行器的噪音污染？

(2)、小镇B受该飞行器噪音污染的最强等级为多少级？

查看试题解析
20. 如图，在平面直角坐标系中， $F_{1} ， F_{2}$ 分别为双曲线Г： $x^{2} - y^{2} = 2$ 的左､右焦点，点D为线段 $F_{1} O$ 的中点，直线MN过点 $F_{2}$ 且与双曲线右支交于 $M (x_{1} ， y_{1}) ， N (x_{2} ， y_{2})$ 两点，延长MD､ND，分别与双曲线Г交于P､Q两点.

(1)、已知点 $M (3 ， \sqrt{7})$ ，求点D到直线MN的距离；

(2)、求证： $x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} = 2 (y_{2} - y_{1})$ ；

(3)、若直线MN､PQ的斜率都存在，且依次设为k₁､k₂.试判断 $\frac{k_{2}}{k_{1}}$ 是否为定值，如果是，请求出 $\frac{k_{2}}{k_{1}}$ 的值；如果不是，请说明理由.

查看试题解析
21. 将有穷数列 ${a_{n}}$ 中部分项按原顺序构成的新数列 ${b_{n}}$ 称为 ${a_{n}}$ 的一个“子列”，剩余项按原顺序构成“子列” ${c_{n}}$ .若{b_n}各项的和与 ${c_{n}}$ 各项的和相等，则称 ${b_{n}}$ 和 ${c_{n}}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的一对“完美互补子列”.

(1)、若数列 ${a_{n}}$ 为 $2 ， 3 ， 5 ， 6 ， 8 ， 9$ ，请问 ${a_{n}}$ 是否存在“完美互补子列”？并说明理由；

(2)、已知共100项的等比数列 ${a_{n}}$ 为递减数列，且 $a_{1} > 0$ ，公比为q.若 ${a_{n}}$ 存在“完美互补子列”，求证： $\frac{1}{2} < q < 1$ ；

(3)、数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} = n ， 1 ⩽ n ⩽ m ， n \in N^{*}$ .设 ${a_{n}}$ 共有 $f (m)$ 对“完美互补子列”，求证：当 $m = 4 k$ 和 $m = 4 k + 3 (k \in N^{*})$ 时， ${a_{n}}$ 都存在“完美互补子列”且 $f (4 k + 3) ⩾ 3 f (4 k)$ .

查看试题解析