上海市金山区2022届高三上学期数学一模试卷

试卷更新日期：2022-01-11 类型：高考模拟

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一、填空题

1. 已知集合 $A = {x | x > 2}$ ， $B = {x | x < 3}$ ，则 $A ∩ B =$ .

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2. 函数 $y = l o g_{2} (x - 1)$ 的定义域是

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3. 若复数z满足 $i z = \sqrt{3} - i$ （i为虚数单位），则 $| z | =$ .

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4. 在 $(x + 2)^{6}$ 的二项展开式中， $x^{3}$ 项的系数为(结果用数值表示).

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5. 已知 $c o s α = \frac{1}{3}$ ，则行列式 $| \begin{array}{l} 1 & s i n α \\ s i n α & 1 \end{array} |$ 的值为

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6. 某小区共有住户2000人，其中老年人600人，中年人1000人，其余为青少年等人群，为了调查该小区的新冠疫苗接种情况，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为400的样本，则样本中中年人的人数为

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7. 设P为直线 $y = 2 x$ 上的一点，且位于第一象限，若点P到双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 的两条渐近线的距离之积为27，则点P的坐标为

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8. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $\frac{4}{x} + \frac{1}{y} = 1$ ，则 $4 x + y$ 的最小值为

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9. 有身高全不相同的6位同学一起拍毕业照，若6人随机排成两排，每排3人，则后排每人都比前排任意一位同学高的概率是（结果用最简分数表示）.

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10. 已知 $P_{1}$ ､ $P_{2}$ ､ $P_{3}$ ､…､ $P_{10}$ 是抛物线 $y^{2} = 8 x$ 上不同的点，点 $F (2 ， 0)$ ，若 $\vec{F P_{1}} + \vec{F P_{2}} + ⋯ + \vec{F P_{10}} = \vec{0}$ ，则 $| {\vec{F P}}_{1} | + | \vec{F P_{2}} | + ⋯ + | \vec{F P_{10}} | =$

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11. 若数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} + a_{n + 1} + a_{n + 2} + ⋯ + a_{n + k} = 0 (n \in N^{*} ， k \in N^{*})$ ，则称数列 ${a_{n}}$ 为“k阶相消数列”.已知“2阶相消数列” ${b_{n}}$ 的通项公式为 $b_{n} = 2 c o s ω n$ ，记 $T_{n} = b_{1} b_{2} ⋯ b_{n}$ ， $1 \leq n \leq 2021$ ， $n \in N^{*}$ ，则当 $n =$ 时， $T_{n}$ 取得最小值.

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12. 已知点 $O (0 ， 0)$ ､ $A_{0} (2 ， 3)$ 和 $B_{0} (5 ， 6)$ ，记线段 $A_{0} B_{0}$ 的中点为 $P_{1}$ ，取线段 $A_{0} P_{1}$ 和 $P_{1} B_{0}$ 中的一条，记其端点为 $A_{1}$ ､ $B_{1}$ ，使之满足 $(| O A_{1} | - 5) (| O B_{1} | - 5) < 0$ ，记线段 $A_{1} B_{1}$ 的中点为 $P_{2}$ ，取线段 $A_{1} P_{2}$ 和 $P_{2} B_{1}$ 中的一条，记其端点为 $A_{2}$ ､ $B_{2}$ ，使之满足 $(| O A_{2} | - 5) (| O B_{2} | - 5) < 0$ ，依次下去，得到点 $P_{1}$ ､ $P_{2}$ ､ $P_{3}$ ､…､ $P_{n}$ ､…，则 $\underset{n \to \infty}{l i m} | A_{0} P_{n} | =$ .

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二、单选题

13. 已知a､ $b \in R$ ，则“ $\frac{b}{a} > 1$ ”是“ $b > a$ ”的（）条件

A、充分非必要 B、必要非充分 C、充要 D、非充分非必要

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14. 下列函数中，以 $\frac{π}{2}$ 为周期且在区间 $[\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$ 上单调递增的是（）

A、 $f (x) = | c o s 2 x |$ B、 $f (x) = | s i n 2 x |$ C、 $f (x) = s i n 4 x$ D、 $f (x) = c o s 2 x$

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15. 如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，P､Q､R分别是棱AB､BC､ $B B_{1}$ 的中点，以 $△$ PQR为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的表面上，则这个直三棱柱的体积为（）

A、 $\frac{3}{8}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{8}$ C、 $\frac{3}{16}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{16}$

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16. 已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $120 °$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 2$ ，向量 $\vec{c}$ 满足 $\vec{c} = λ \vec{a} + (1 - λ) \vec{b} (0 < λ < 1)$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ ，记向量 $\vec{c}$ 在向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 方向上的投影分别为x､y.现有两个结论：①若 $λ = \frac{1}{3}$ ，则 $| \vec{a} | = 2 | \vec{b} |$ ；② $x^{2} + y^{2} + x y$ 的最大值为 $\frac{3}{4}$ .则正确的判断是（）

A、①成立，②成立 B、①成立，②不成立 C、①不成立，②成立 D、①不成立，②不成立

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三、解答题

17. 如图，已知圆锥的底面半径 $r = 2$ ，经过旋转轴SO的截面是等边三角形SAB，点Q为半圆弧AB的中点，点P为母线SA的中点.

(1)、求此圆锥的表面积：

(2)、求异面直线PQ与SO所成角的大小.

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18. 已知函数 $f (x) = 3^{x}$ .

(1)、设 $y = f^{- 1} (x)$ 是 $y = f (x)$ 的反函数，若 $f^{- 1} (x_{1} x_{2}) = 1$ ，求 $f^{- 1} (x_{1}^{3}) + f^{- 1} (x_{2}^{3})$ 的值；

(2)、是否存在常数 $m \in R$ ，使得函数 $g (x) = 1 + \frac{m}{f (x) + 1}$ 为奇函数，若存在，求m的值，并证明此时 $g (x)$ 在 $(- \infty ， + \infty)$ 上单调递增，若不存在，请说明理由.

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19. 落户上海的某休闲度假区预计于2022年开工建设.如图，拟在该度假园区入口处修建平面图呈直角三角形的迎宾区， $∠ A C B = \frac{π}{2}$ ，迎宾区的入口设置在点A处，出口在点B处，游客可从入口沿着观景通道A-C-B到达出口，其中 $A C = 300$ 米， $B C = 200$ 米，也可以沿便捷通道A-P-B到达出口（P为△ABC内一点）.

(1)、若△PBC是以P为直角顶点的等腰直角三角形，某游客的步行速度为每分钟50米，则该游客从入口步行至出口，走便捷通道比走观景通道可以快几分钟？（结果精确到1分钟）

(2)、园区计划将△PBC区域修建成室外游乐场，若 $∠ B P C = \frac{2 π}{3}$ ，该如何设计使室外游乐场的面积最大，请说明理由.

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20. 已知 $P (0 ， 1)$ 为椭圆C： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 内一定点，Q为直线l： $y = 3$ 上一动点，直线PQ与椭圆C交于A､B两点（点B位于P､Q两点之间），O为坐标原点.

(1)、当直线PQ的倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 时，求直线OQ的斜率；

(2)、当 $△$ AOB的面积为 $\frac{3}{2}$ 时，求点Q的横坐标；

(3)、设 $\vec{A P} = λ \vec{P B}$ ， $\vec{A B} = μ \vec{B Q}$ ，试问 $λ - μ$ 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

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21. 已知有穷数列 ${a_{n}}$ 的各项均不相等，将 ${a_{n}}$ 的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列 ${p_{n}}$ ，称 ${p_{n}}$ 为 ${a_{n}}$ 的“序数列”.例如，数列 $a_{1}$ ､ $a_{2}$ ､ $a_{3}$ 满足 $a_{1} > a_{3} > a_{2}$ ，则其“序数列” ${p_{n}}$ 为1､3､2，若两个不同数列的“序数列”相同，则称这两个数列互为“保序数列”.

(1)、若数列 $3 - 2 x$ ､ $5 x + 6$ ､ $x^{2}$ 的“序数列”为2､3､1，求实数x的取值范围；

(2)、若项数均为2021的数列 ${x_{n}}$ ､ ${y_{n}}$ 互为“保序数列”，其通项公式分别为 $x_{n} = (n + \frac{1}{2}) \cdot {(\frac{2}{3})}^{n}$ ， $y_{n} = - n^{2} + t n$ （t为常数），求实数t的取值范围；

(3)、设 $a_{n} = q^{n - 1} + p$ ，其中p､q是实常数，且 $q > - 1$ ，记数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若当正整数 $k \geq 3$ 时，数列 ${a_{n}}$ 的前k项与数列 ${S_{n}}$ 的前k项（都按原来的顺序）总是互为“保序数列”，求p､q满足的条件.

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