上海市黄浦区2022届高三数学一模试卷

试卷更新日期：2022-01-11 类型：高考模拟

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一、填空题

1. 设 $m \in R$ ，已知集合 $A = {1 ， 3 ， m}$ ， $B = {3 ， 4}$ ，若 $A ∪ B = {1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ，则 $m =$ ．

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2. 不等式 $| x - 1 | < 1$ 的解集是.

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3. 若圆柱的高、底面半径均为1，则其表面积为．

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4. 设 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，若函数 $y = a^{x}$ 的反函数的图象过点 $(2 ， - 1)$ ，则 $a =$ ．

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5. 若线性方程组的增广矩阵为 $(\begin{array}{l} 2 & 3 & c_{1} \\ 0 & 1 & c_{2} \end{array})$ 、解为 ${\begin{cases} x = 3 \\ y = 5 \end{cases}$ ，则 $c_{1} - c_{2} =$ ．

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6. 圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 4 = 0$ 的圆心到直线： $3 x + 4 y + 4 = 0$ 的距离 $d =$

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7. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ ，则以双曲线C的中心为顶点，以双曲线C的右焦点为焦点的抛物线方程为．

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8. 若 $O$ 为 $△ A B C$ 内一点，则 $\vec{O A} \cdot \vec{B C} + \vec{O B} \cdot \vec{C A} + \vec{O C} \cdot \vec{A B} =$ ．

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9. 设无穷等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为 $q$ ，且 $a_{1} = q^{2} + 1$ ，则该数列的各项和的最小值为．

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10. 在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．

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11. 设 $b \in R$ ，若曲线 $y^{2} = - | x | + 1$ 与直线 $y = - x + b$ 有公共点，则 $b$ 的取值范围是．

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12. 若数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{0} = 0$ ，且 $| a_{k} | = | a_{k - 1} + 3 | (k \in N^{*})$ ，则 $| a_{1} + a_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{19} + a_{20} |$ 的最小值为．

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二、单选题

13. 下列函数中，既是偶函数，又是在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递减的函数为（）

A、 $y = x^{- 2}$ B、 $y = x^{- 1}$ C、 $y = x^{2}$ D、 $y = x^{\frac{1}{3}}$

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14. 设 $z_{1} ， z_{2} \in C$ ，则“ $z_{1} ， z_{2}$ 均为实数”是“ $z_{1} - z_{2}$ 是实数”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分又非必要条件

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15. 下列不等式中，与不等式 $\frac{x + 8}{x^{2} + 2 x + 3} < 2$ 解集相同的是（）

A、 $(x + 8) (x^{2} + 2 x + 3) < 2$ B、 $(x + 8) < 2 (x^{2} + 2 x + 3)$ C、 $\frac{1}{x^{2} + 2 x + 3} < \frac{2}{x + 8}$ D、 $\frac{x^{2} + 2 x + 3}{x + 8} > \frac{1}{2}$

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16. 设 $ω$ 为正实数，若存在 $a 、 b (π \leq a < b \leq 2 π)$ ，使得 $s i n ω a = s i n ω b = 1$ ，则 $ω$ 的值可以是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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三、解答题

17. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，∠ABC=90°，AB=BC=1.

(1)、求异面直线 $B_{1} C_{1}$ 与AC所成角的大小；

(2)、若直线 $A_{1} C$ 与平面ABC所成角为45°，求三棱锥 $A_{1}$ —ABC的体积.

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18. 已知直线 $x = t (t \in R)$ 与函数 $y = s i n 2 x$ 、 $y = c o s (2 x + \frac{π}{6})$ 的图像分别交于M、N两点．

(1)、当 $t = \frac{π}{4}$ 时，求 $| M N |$ 的值；

(2)、求 $| M N |$ 关于 $t$ 的表达式 $f (t)$ ，写出函数 $y = f (t)$ 的最小正周期，并求其在区间 $[0 ， 2 π]$ 内的零点．

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19. 某地区2020年产生的生活垃圾为20万吨，其中6万吨垃圾以环保方式处理，剩余14万吨垃圾以填埋方式处理，预测显示：在以2020年为第一年的未来十年内，该地区每年产生的生活垃圾量比上一年增长5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量比上一年增加1.5万吨，剩余的垃圾以填埋方式处理．根据预测，解答下列问题：

(1)、求2021年至2023年，该地区三年通过填埋方式处理的垃圾共计多少万吨？（结果精确到0.1万吨）

(2)、该地区在哪一年通过环保方式处理的垃圾量首次超过这一年产生生活垃圾量的50%？

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20. 设常数 $m > 0$ 且 $m \neq 1$ ，椭圆 $Γ$ ： $\frac{x^{2}}{m^{2}} + y^{2} = 1$ ，点 $P$ 是 $Γ$ 上的动点．

(1)、若点 $P$ 的坐标为 $(2 ， 0)$ ，求 $Γ$ 的焦点坐标；

(2)、设 $m = 3$ ，若定点 $A$ 的坐标为 $(2 ， 0)$ ，求 $| P A |$ 的最大值与最小值；

(3)、设 $m = \frac{1}{2}$ ，若 $Γ$ 上的另一动点 $Q$ 满足 $O P ⊥ O Q$ （ $O$ 为坐标原点），求证： $O$ 到直线PQ的距离是定值．

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21. 设函数 $y = f (x)$ 定义在区间 $(a ， b)$ 上，若对任意的 $x_{1} 、 x_{2} 、 x_{1} 、 x_{2} \in (a ， b)$ ，当 $x_{1} + x_{2} = x_{1} + x_{2}$ 且 $| x_{1} - x_{2} | < | x_{1} - x_{2} |$ 时，不等式 $f (x_{1}) + f (x_{2}) < f (x_{1}) + f (x_{2})$ 成立，就称函数 $y = f (x)$ 具有 $M$ 性质．

(1)、判断函数 $f (x) = 2^{x}$ ， $x \in (- 3 ， 3)$ 是否具有 $M$ 性质，并说明理由；

(2)、已知函数 $y = f (x)$ 在区间 $(a ， b)$ 上恒正，且函数 $y = l g f (x)$ ， $x \in (a ， b)$ 具有 $M$ 性质，求证：对任意的 $x_{1} 、 x_{2} \in (a ， b)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，有 $f (x_{1}) \cdot f (x_{2}) < {[f (\frac{_{x} +_{x}}{2})]}^{2}$ ；

(3)、①已知函数 $y = f (x)$ ， $x \in (a ， b)$ 具有 $M$ 性质，证明：对任意的 $x_{1} 、 x_{2} 、 x_{3} \in (a ， b)$ ，有 $f (x_{1}) + f (x_{2}) + f (x_{3}) \leq 3 f (\frac{x_{1} + x_{2} + x_{3}}{2})$ ，其中等号当且仅当 $x_{1} = x_{2} = x_{3}$ 时成立；
②已知函数 $f (x) = s i n x$ ， $x \in (0 ， \frac{π}{2})$ 具有 $M$ 性质，若 $A 、 B 、 C$ 为三角形 $A B C$ 的内角，求 $s i n A + s i n B + s i n C$ 的最大值．

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