上海市虹口区2022届高三数学一模试卷

试卷更新日期：2022-01-11 类型：高考模拟

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一、填空题

1. 已知集合 $A = {1 ， 2 ， 4}$ ， $B = {y | y = l o g_{2} x ， x \in A}$ ，则 $A \cup B =$ .

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2. 已知 $x = - 2$ 是方程 $| \begin{array}{l} x & a \\ 1 & x \end{array} | = 0$ 的解，则实数 $a$ 的值为.

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3. 已知α∈ ${- 2 ， - 1 ， - \frac{1}{2} ， \frac{1}{2} ， 1 ， 2 ， 3}$ .若幂函数f(x)＝x^α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则 $α$ ＝.

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4. 已知无穷等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项的和为 $S_{n}$ ，首项 $a_{1} = 3$ ，公比为 $q$ ，且 $\underset{n \to \infty}{l i m} S_{n} = 2$ ，则 $q =$ .

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5. 圆 $x^{2} + y^{2} + 4 s i n θ \cdot x + 4 c o s θ \cdot y + 1 = 0$ 的半径等于.

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6. 在 ${(x - \frac{1}{x})}^{10}$ 的展开式中，常数项等于.（结果用数值表示）

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7. 已知角 $A$ ， $B$ ， $C$ 是 $△ A B C$ 的三个内角，若 $s i n A ： s i n B ： s i n C = 4 ： 5 ： 6$ ，则该三角形的最大内角等于（用反三角函数值表示）.

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8. 已知 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，且对任意的 $x$ 满足 $f (x + 2) = f (x)$ ，若 $0 < x < 1$ 时，有 $f (x) = 4^{x} + 3$ ，则 $f (3.5) =$ .

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9. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ， $A$ ， $B$ 为此抛物线上的异于坐标原点 $O$ 的两个不同的点，满足 $| \vec{F A} | + | \vec{F B} | + | \vec{F O} | = 12$ ，且 $\vec{F A} + \vec{F B} + \vec{F O} = \vec{0}$ ，则 $p =$ .

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10. 如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为底面 $A B C D$ 内（包括边界）的动点，满足 $D_{1} P$ 与直线 $C C_{1}$ 所成角的大小为 $\frac{π}{6}$ ，则线段 $D P$ 扫过的面积为.

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11. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足： $x | x | + y | y | = 1$ ，则 $| x + y + \sqrt{2} |$ 的取值范围是.

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12. 已知函数 $f (x) = c o s x$ ，若对任意实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，方程 $| f (x) - f (x_{1}) | + | f (x) - f (x_{2}) | = m (m \in R)$ 有解，方程 $| f (x) - f (x_{1}) | - | f (x) - f (x_{2}) | = n (n \in R)$ 也有解，则 $m + n$ 的值的集合为.

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二、单选题

13. 设 $α$ ：实数 $x$ 满足 $\frac{x - 3}{x + 1} < 0$ ， $β$ ：实数 $x$ 满足 $| x - 1 | < 2$ ，那么 $α$ 是 $β$ 的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分又非必要条件

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14. 设函数 $f (x) = a s i n x + b c o s x$ ，其中 $a > 0$ ， $b > 0$ ，若 $f (x) \leq f (\frac{π}{4})$ 对任意的 $x \in R$ 恒成立，则下列结论正确的是（）

A、 $f (\frac{π}{2}) > (\frac{π}{6})$ B、 $f (x)$ 的图像关于直线 $x = \frac{3 π}{4}$ 对称 C、 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{4} ， \frac{5 π}{4}]$ 上单调递增 D、过点 $(a ， b)$ 的直线与函数 $f (x)$ 的图像必有公共点

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15. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，如果 $- a_{1} < a_{9} < - a_{2}$ ，则（）

A、 $S_{9} > 0$ 且 $S_{10} > 0$ B、 $S_{9} > 0$ 且 $S_{10} < 0$ C、 $S_{9} < 0$ 且 $S_{10} > 0$ D、 $S_{9} < 0$ 且 $S_{10} < 0$

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16. 已知 $a ， b \in R$ ，复数 $z = a + 2 b i$ （其中i为虚数单位）满足 $z \cdot \bar{z} = 4$ ，给出下列结论：① $a^{2} + b^{2}$ 的取值范围是 $[1 ， 4]$ ；② $\sqrt{{(a - \sqrt{3})}^{2} + b^{2}} + \sqrt{{(a + \sqrt{3})}^{2} + b^{2}} = 4$ ；③ $\frac{b - \sqrt{5}}{a}$ 的取值范围是 $(- \infty ， - 1] \cup [1 ， + \infty)$ ；④ $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}}$ 的最小值为2；其中正确结论的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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三、解答题

17. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，已知 $A C = B C = 4$ ， $A A_{1} = 3$ ， $A B = 4 \sqrt{2}$ .

(1)、求四棱锥 $A - B C C_{1} B_{1}$ 的体积；

(2)、求直线 $A C_{1}$ 与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成的角的大小.

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18. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (\frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ 在以原点 $O$ 为圆心半径等1的圆上，将射线 $O A$ 绕原点 $O$ 逆时针方向旋转 $α$ 后交该圆于点 $B$ ，设点 $B$ 的横坐标为 $f (α)$ ，纵坐标 $g (α)$ .

(1)、如果 $s i n α = m$ ， $0 < m < 1$ ，求 $f (α) + g (α)$ 的值（用 $m$ 表示）；

(2)、如果 $\frac{f (α)}{g (α)} = 2$ ，求 $f (α) \cdot g (α)$ 的值.

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19. 某地政府决定向当地纳税额在4万元至8万元（包括4万元和8万元）的小微企业发放补助款，发放方案规定：补助款随企业纳税额的增加而增加，且补助款不低于纳税额的50%.设企业纳税额为 $x$ （单位：万元），补助款为 $f (x) = \frac{1}{4} x^{2} - b x + b + \frac{1}{2}$ （单位：万元），其中 $b$ 为常数.

(1)、分别判断 $b = 0$ ， $b = 1$ 时， $f (x)$ 是否符合发放方案规定，并说明理由；

(2)、若函数 $f (x)$ 符合发放方案规定，求 $b$ 的取值范围.

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20. 已知椭圆 $Γ ： \frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{8} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 的直线 $l$ 交椭圆于 $A$ ， $B$ 两点，交 $y$ 轴于点 $P (0 ， t)$ .

(1)、若直线 $l$ 的倾斜角为 $6 0^{∘}$ 时，求 $t$ 的值；

(2)、若点 $A$ 在第一象限，满足 $\vec{F_{1} A} \cdot \vec{F_{2} A} = 7$ ，求 $t$ 的值；

(3)、在 $x$ 轴上是否存在定点 $Q$ ，使得 $\vec{Q A} \cdot \vec{Q B}$ 是一个确定的常数？若存在，求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，说明理由.

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21. 已知集合 $A = {y | y = 2 x ， x \in N *}$ ， $B = {y | y = 3^{x} ， x \in N *}$ . $A ∪ B$ 中的所有元素按从小到大的顺序排列构成数列 ${a_{n}}$ ， $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项的和.

(1)、求 $S_{10}$ ；

(2)、如果 $a_{m} = 81$ ， $a_{2022} = t$ ，求 $m$ 和 $t$ 的值；

(3)、如果 $n = \frac{3^{k} - 1}{2} + k (k \in N *)$ ，求 $11 S_{n}$ （用 $k$ 来表示）.

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