上海市宝山区2022届高三上学期数学一模试卷

试卷更新日期：2022-01-11 类型：高考模拟

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一、填空题

1. 在复平面内，复数 $z$ 对应的点的坐标是 $(1 ， 2)$ ，则 $i \cdot z =$ .

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2. 已知集合 $A = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ， $B = {x | 0 < x < 3}$ ，则 $A ∩ B =$

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3. 在 $(\sqrt{x} - 2)^{5}$ 的展开式中，x的系数为.

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4. 函数 $f (x) = l n \frac{2^{x} - 4}{2^{x} + 1}$ 的定义域是.

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5. 已知函数 $f (x) = - x^{2} + 2 a x + 3$ 在区间 $(- \infty ， 4)$ 上是增函数，则实数 $a$ 的取值范围是.

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6. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{n} = 1 + (n - 1) d$ ， $5 a_{2} = a_{8}$ ，则 $S_{n} =$ .

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7. 若 $x ， y$ 满足 ${\begin{array}{l} x \leq 2 ， \\ y \geq - 1 ， \\ 4 x - 3 y + 1 \geq 0 ， \end{array}$ 则 $y - x$ 的最大值为.

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8. 计算 $\underset{n \to ∞}{l i m} \frac{1 + 2 + ⋯ + 2^{n - 1}}{2^{n}} + (\frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + ⋯ \frac{1}{2^{n}} + ⋯) =$ .

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9. 在三角形 $A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 中点， $A B = 2$ ， $A C = 4$ ，则 $\vec{A D} \cdot \vec{C B} =$ .

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10. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (2 + x) = f (x)$ ，当 $x \in [0 ， 2]$ 时， $f (x) = - x (x - 2)$ ，则方程 $f (x) = | l g x |$ 有个根.

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11. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $c o s^{2} B + \frac{1}{2} s i n 2 B = 1$ ， $0 < B < \frac{π}{2}$ ，若 $| \overset{⇀}{A B} + \overset{⇀}{B C} | = 4$ ，则 $a c$ 的最大值为.

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12. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知圆 $C ： {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ ，点 $A$ 是直线 $x - y + 2 = 0$ 上的一个动点，直线 $A P ， A Q$ 分别切圆 $C$ 于 $P ， Q$ 两点，则线段 $P Q$ 长的取值范围为．

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二、单选题

13. “ $| \begin{array}{l} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{array} | = 0$ ”是“直线 $a_{1} x + b_{1} y = 1$ 和 $a_{2} x + b_{2} y = 1$ 平行”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、非充分又非必要条件

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14. 已知函数 $f (x) = 2^{x} - (\frac{1}{2})^{x}$ ，则 $f (x)$ （）

A、是奇函数，且在 $(0 ， + \infty)$ 上是增函数 B、是偶函数，且在 $R$ 上是增函数 C、是奇函数，且在 $(0 ， + \infty)$ 上是减函数 D、是偶函数，且在 $R$ 上是减函数

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15. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ ，作 $x$ 轴的垂线交双曲线于 $A$ ､ $B$ 两点，作 $y$ 轴的垂线交双曲线于 $C$ ､ $D$ 两点，且 $A B = C D$ ，两垂线相交于点 $P$ ，则点 $P$ 的轨迹是（）

A、椭圆 B、双曲线 C、圆 D、抛物线

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16. 设 $m$ ， $n \in R$ ，定义运算“△”和“ $\nabla$ ”如下： $m △ n = {\begin{array}{l} m ， m ⩽ n \\ n ， m > n \end{array}$ ， $m \nabla n = {\begin{array}{l} n ， m ⩽ n \\ m ， m > n \end{array}$ .若正数 $m$ ， $n$ ， $p$ ， $q$ 满足 $m n ⩾ 4$ ， $p + q ⩽ 4$ ，则（）

A、 $m$ △ $n ⩾ 2$ ， $p$ △ $q ⩽ 2$ B、 $m \nabla n ⩾ 2$ ， $p \nabla q ⩾ 2$ C、 $m$ △ $n ⩾ 2$ ， $p \nabla q ⩾ 2$ D、 $m \nabla n ⩾ 2$ ， $p$ △ $q ⩽ 2$

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三、解答题

17. 如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $4$ ， $P$ ， $Q$ 分别是棱 $B C$ 与 $B_{1} C_{1}$ 的中点.

(1)、求以 $A_{1}$ ， $D_{1}$ ， $P$ ， $Q$ 为顶点的四面体的体积；

(2)、求异面直线 $D_{1} P$ 和 $A_{1} Q$ 所成的角的大小.

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18. 设函数 $f (x) = s i n x$ ， $x \in R$ .

(1)、若 $θ \in [0$ ， $π)$ ，函数 $f (x + θ)$ 是偶函数，求方程 $f (x + θ) = \frac{1}{2}$ 的解集；

(2)、求函数 $y = [f (x + \frac{π}{12})]^{2} + [f (x + \frac{π}{4})]^{2}$ 的值域.

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19. 吴淞口灯塔 $A E$ 采用世界先进的北斗卫星导航遥测遥控系统，某校数学建模小组测量其高度 $H$ （单位： $m)$ ，如示意图，垂直放置的标杆 $B C$ 的高度 $h = 3 m$ ，使 $A$ ， $B$ ， $D$ 在同一直线上，也在同一水平面上，仰角 $∠ A B E = α$ ， $∠ A D E = β$ .（本题的距离精确到 $0.1 m)$

(1)、该小组测得 $α$ ､ $β$ 的一组值为 $α = 51.83 °$ ， $β = 47.33 °$ ，请据此计算 $H$ 的值；

(2)、该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到灯塔的距离 $d$ （单位： $m)$ ，使 $α$ 与 $β$ 之差较大，可以提高测量精确度.若灯塔的实际高度为 $20.1 m$ ，试问 $d$ 为多少时， $α - β$ 最大？

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20. 如图，已知 $F_{1}$ ､ $F_{2}$ 是椭圆 $Γ ： \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的左､右焦点， $M$ ､ $N$ 是其顶点，直线 $l ： y = k x + m (k > 0)$ 与 $Γ$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点.

(1)、求△ $F_{2} M N$ 的面积 $P$ ；

(2)、若 $l ⊥ F_{2} N$ ，点 $A$ ， $M$ 重合，求 $B$ 点的坐标；

(3)、设直线 $O A$ ， $O B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ､ $k_{2}$ ，记以 $O A$ ， $O B$ 为直径的圆的面积分别为 $S_{1}$ ､ $S_{2}$ ， $△ O A B$ 的面积为 $S$ ，若 $k_{1}$ ､ $k$ ､ $k_{2}$ 恰好构成等比数列，求 $S (S_{1} + S_{2})$ 的最大值.

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21. 已知函数 $f (x) = 2 - | x |$ ，无穷数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = f (a_{n})$ ， $n \in N^{*}$ .

(1)、若 $a_{1} = 2$ ，写出数列 ${a_{n}}$ 的通项公式（不必证明）；

(2)、若 $a_{1} > 0$ ，且 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ 成等比数列，求 $a_{1}$ 的值；问 ${a_{n}}$ 是否为等比数列，并说明理由；

(3)、证明： $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $⋯$ ， $a_{n}$ ， $⋯$ 成等差数列的充要条件是 $a_{1} = 1$ .

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