陕西省商洛市2021-2022学年高三上学期理数11月联考试卷

试卷更新日期：2022-01-11 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 2 < x \leq 1} ， B = {x | - 1 < x \leq 2}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(- 2 ， 2]$ B、 $[- 1 ， 2]$ C、 $(- 1 ， 1]$ D、 $(1 ， 2]$

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2. 已知 $a = l o g_{4} 5$ ， $b = {(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}}$ ， $c = l n \frac{2}{3}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a > b > c$ C、 $a > c > b$ D、 $b > a > c$

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3. 已知一组数据为-1，1，4，4，2，8，则该组数据的方差为（）

A、4 B、6 C、8 D、9

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4. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， k) ， \vec{b} = (- 2 ， 1)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $k =$ （）

A、-4 B、-2 C、2 D、4

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5. 若实数x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y + 2 \geq 0 ， \\ 2 x + y - 5 \leq 0 ， \\ x + 2 y - 1 \geq 0 ， \end{array}$ 则 $z = x + y$ 的最大值为（）

A、4 B、6 C、8 D、9

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6. 执行如图所示的程序框图，若输出的y的值为1，则输入的x的值为（）

A、 $e - 1$ B、1 C、2 D、e

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7. 在棱长为3的正方体内任取一点，则这个点到该正方体各个面的距离均超过1的概率为（）

A、 $\frac{1}{27}$ B、 $\frac{1}{9}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、 $\frac{1}{4}$

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8. 如图所示的时钟显示的时刻为3：30，此时时针与分针的夹角为 $α (0 < α \leq \frac{π}{2})$ .若一个扇形的圆心角为a，弧长为10，则该扇形的面积为（）

A、 $\frac{25 π}{6}$ B、 $\frac{25 π}{12}$ C、 $\frac{240}{π}$ D、 $\frac{120}{π}$

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9. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $x + y = 4$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{9}{y}$ 的最小值为（）

A、2 B、3 C、4 D、8

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10. 在△ABC中， $A = \frac{π}{3}$ ， O为△ABC的重心，若 $\vec{A O} \cdot \vec{A B} = \vec{A O} \cdot \vec{A C} = 2$ ，则△ABC外接圆的半径为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

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11. 将函数 $f (x) = c o s (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 图象上所有的点向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后，得到函数 $g (x) = c o s (2 x + φ)$ 的图象，则 $g (x)$ 图象的一条对称轴方程为（）

A、 $x = \frac{5 π}{12}$ B、 $x = - \frac{5 π}{6}$ C、 $x = - \frac{5 π}{12}$ D、 $x = \frac{5 π}{6}$

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12. 已知函数 $y = f (x + 1)$ 为奇函数， $y = f (x + 2)$ 为偶函数，当 $1 \leq x \leq 2$ 时， $f (x) = 2^{x - 1} + l o g_{4} x - 1$ .则 $f (2022) =$ （）

A、0 B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、 $\frac{3}{2}$

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二、填空题

13. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 2 x ， x \geq 0 \\ 2 - {(\frac{1}{2})}^{x} ， x < 0 \end{array}$ 的零点个数为.

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14. 《易经》是中国传统文化的精髓，易经八卦分别为乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑，现将乾、坤、巽三卦按任意次序排成一排，则乾不在中间的概率为.

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15. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的公比 $q > 0$ ，其前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{2} = 6 ， S_{3} = 14$ ，则数列 ${\frac{1}{l o g_{2} a_{n} \cdot l o g_{2} a_{n + 1}}}$ 的前2021项和为.

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16. 黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，地处蛇山之巅，濒临万里长江，为武汉市地标建筑.某同学为了估算黄鹤楼的高度，在大楼的一侧找到一座高为 $30 (\sqrt{3} - 1)$ m的建筑物AB，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A、楼顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得楼顶C的仰角为15°，则估算黄鹤楼的高度CD为m.

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三、解答题

17. 一机器按不同的速率运转，其生产的产品中均可能出现次品，每小时生产的产品中含有的次品数（单位：件）随机器运转速率的变化而变化，用x表示转速（单位：转/秒），用y表示每小时生产的产品中含有的次品数，现得到关于 $(x ， y)$ 的四组数据如下表：
x
4
6
8
10
y
2
3
5
6

(1)、求每小时生产的产品中含有的次品数y关于机器运转速率x的回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ；

(2)、若实际生产中所容许的每小时生产的产品中含有的次品数不超过11件，则机器的运转速率不得超过多少转/秒？
参考公式：线性回归方程是 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

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18. 第130届中国进出口商品交易会(广交会)于2021年10月15日至11月3日举办.其中10月15日～18日的第二期展示中，有两家礼品参展商为了交流感情，进行了如下游戏，在甲参展商的箱子和乙参展商的箱子中分别装有标号为1，2，3的3个形状材质均相同的小礼品盒，现从甲、乙参展商的两个箱子中各取出1个小礼品盒，每个小礼品盒被取出的可能性相等.

(1)、求取出的两个小礼品盒标号相同的概率；

(2)、若将乙参展商箱子中的小礼品盒全部倒入甲参展商的箱子中，然后从甲参展商的箱子中不放回的随机取出两个小礼品盒，求取出的两个小礼品盒标号相同的概率.

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19. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $b c o s C = \sqrt{2} a s i n A - c c o s B$ ， $a = \sqrt{34}$ ， $b = 3 \sqrt{2}$ ，且A为锐角.

(1)、求A；

(2)、求c及△ABC的面积.

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20. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n ω x + c o s ω x (ω > 0)$ 图象的相邻对称轴与对称中心之间的距离为 $\frac{π}{4}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、当 $x \in [- \frac{π}{6} ， \frac{7 π}{12}]$ 时，求 $f (x)$ 的值域.

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 是首项为1，公差为2的等差数列，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 2$ ， $\frac{b_{1}}{a_{1}} + \frac{b_{2}}{a_{2}} + \frac{b_{3}}{a_{3}} + ⋯ + \frac{b_{n}}{a_{n}} = \frac{b_{n + 1}}{a_{n + 1}} - 2$ .

(1)、求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

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22. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $\forall a ， b \in R$ ， $f (a - b) = \frac{f (a)}{f (b)}$ ，且当 $x > 0$ 时， $f (x) > 1$ .

(1)、求 $f (0)$ ，并写出一个符合题意的 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $f (m^{2} + 2 m) > f (4 m^{2} - 8)$ ，求m的取值范围.

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