陕西省汉中市2022届高三上学期理数第一次教学质量检测试卷

试卷更新日期：2022-01-11 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | 1 < x < 4}$ ， $B = {x | x < 2$ 或 $x > 5}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x | 1 < x < 2}$ B、 ${x | x < 2$ 或 $x > 5}$ C、 ${x | 1 < x < 2$ 或 $x > 5}$ D、 ${x | x < 4$ 或 $x > 5}$

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2. 已知 $i$ 是虚数单位，若 $z = \frac{3 + i}{i}$ ，则 $| z | =$ （）

A、3 B、2 C、 $\sqrt{10}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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3. 如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，则异面直线 $B C_{1}$ 与 $C D_{1}$ 所成角大小为（）

A、90° B、60° C、30° D、45°

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4. 函数 $y = c o s (\frac{π}{2} - x) \cdot l n \frac{x^{2} + 1}{x^{2}}$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 下列命题中，真命题是（）

A、“ $a > 1 ， b > 1$ ”是“ $a b > 1$ ”的必要条件 B、 $\forall x \in R$ ， $e^{x} \geq 0$ C、 $\forall x \in R ， 2^{x} > x^{2}$ D、 $a + b = 0$ 的充要条件是 $\frac{a}{b} = - 1$

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6. 在一个坛子中装有16个除颜色之外完全相同的玻璃球，其中有2个红的，3个蓝的，5个绿的，6个黄的，从中任取一球，放回后，再取一球，则第一次取出红球且第二次取出黄球的概率为（）

A、 $\frac{3}{64}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{1}{20}$ D、 $\frac{3}{8}$

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7. 将函数 $y = s i n (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象向左平移 $φ (0 \leq φ \leq \frac{π}{2})$ 个单位长度后，得到函数 $y = c o s (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象，则 $ϕ$ 等于（）

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{5}$

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8. 从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共（）

A、24种 B、18种 C、12种 D、6种

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9. 在△ABC中， $∠ B = 12 0^{∘} ， | A B | = \sqrt{2}$ ， $∠ A$ 的角平分线AD的长为数列 $a_{n} = n$ 的首项与第三项的等比中项，则 $| A C | =$ （）

A、2 B、3 C、 $\sqrt{6}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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10. 苏格兰数学家科林麦克劳林（ColinMaclaurin）研究出了著名的Maclaurin级数展开式，受到了世界上顶尖数学家的广泛认可，下面是麦克劳林建立的其中一个公式： $l n (1 + x) = x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4} + ⋯ + (- 1)^{n - 1} \frac{x^{n}}{n} + ⋯$ ，试根据此公式估计下面代数式 $2 \sqrt{3} + \frac{9 \sqrt{3}}{5} + ⋯ + (- 1)^{n - 1} \frac{(\sqrt{3})^{n}}{n} + ⋯ (n \geq 5)$ 的近似值为（）（可能用到数值 $l n 2.7321 = 1.005 ， l n 3.7321 = 1.317$ ）

A、2.322 B、4.785 C、4.755 D、1.005

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11. 已知 $F$ 是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点，点 $P$ 在椭圆 $C$ 上，线段 $P F$ 与圆 ${(x - \frac{c}{3})}^{2} + y^{2} = \frac{b^{2}}{9}$ 相切于点 $Q$ ，且 $\frac{P Q}{Q F} = 2$ ，则椭圆 $C$ 的离心率等于（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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12. 已知函数 $f (x)$ 是定义在区间 $(- \infty ， 0) ∪ (0 ， + \infty)$ 上的偶函数，且当 $x \in (0 ， + \infty)$ 时， $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{| x - 1 |} ， & 0 < x \leq 2 \\ f (x - 2) - 1 ， & x > 2 \end{array}$ ，则方程 $f (x) + \frac{1}{8} x^{2} = 2$ 根的个数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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二、填空题

13. 已知函数 $C ： f (x) = l n x + x^{3}$ ，则曲线在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为．

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14. 向量 $a = (- 2 ， 1) ， b = (- 2 ， 3) ， c = (m ， - 1)$ ， $c$ $∥$ $b$ ，则 $| a - c | =$ ．

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15. 一辆邮车每天从A地往B地运送邮件，沿途（包括A，B）共有8站，从A地出发时，装上发往后面7站的邮件各一个，到达后面各站后卸下前面各站发往该站的一个邮件，同时装上该站发往下面各站的邮件各一个，邮车在各站装卸完毕后剩余邮件个数组成数列 ${a_{n}}$ ，则此数列 ${a_{n}}$ 各项的和为．

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16. 如图，广场上有一盏路灯挂在高10米的电线杆顶上，记电线杆的底部为A，把路灯看做一个点光源，身高1.5米的女孩站在离点A距离5米的点B处，若女孩向点A直行4米到达点D，然后从点D出发，沿着线段 $B D$ 为对角线的正方形走一圈，则女孩走一圈时头顶影子的轨迹为；扫过区域的面积为．

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，____．
从① $(b + c)^{2} - a^{2} = 3 b c$ ， ② $a s i n B = b s i n (A + \frac{π}{3})$ 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．

(1)、求角A的大小；

(2)、若b=4， $△ A B C$ 的面积 $16 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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18. 为了普及环保知识，增强环保意识，某校从理科甲班抽取60人，从文科乙班抽取50人参加环保知识测试．

(1)、根据题目条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为环保知识成绩优秀与学生的文理分类有关．

优秀人数
非优秀人数
总计
甲班
40
乙班
总计
50

(2)、现已知A，B，C三人获得优秀的概率分别为 $\frac{1}{2} ， \frac{1}{3} ， \frac{1}{3}$ ，设随机变量X表示A，B，C三人中获得优秀的人数，求 $X$ 的分布列及期望 $E (X)$ ．
附： $K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} ， n = a + b + c + d$
$P (K^{2} ⩾ k_{0})$
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
$k_{0}$
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879

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19. 如图，在四棱锥 $E - A B C D$ 中， $D C / / A B ， ∠ B A D = 90 °$ ，面 $E A D ⊥$ 面 $A B C D ， A B = A D = A E = E D = \frac{1}{2} D C = 1$ ， M为 $E B$ 的中点．
（Ⅰ）求证： $D M ⊥ A E$ ；
（Ⅱ）求直线 $D M$ 与平面 $B C E$ 所成角的正弦值．

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，左､右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ， O为坐标原点，点P在椭圆C上，且满足 $| P F_{2} | = 2 ， ∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{3}$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、已知过点 $(1 ， 0)$ 且不与坐标轴垂直的直线l与椭圆C交于M，N两点，在x轴上是否存在定点Q，使得 $∠ M Q O = ∠ N Q O$ ，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

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21.

(1)、 $f (x) = e^{x} - a x - b$ （a，b为实数，e为自然对数的底数），求 $f (x)$ 单调区间；

(2)、对于公比为2首项为1的等比数列 ${b_{n}}$ ，是否存在一个等差数列，其中存在三项，使得这三项也是等比数列中的项，并且项数也相同？证明你的结论．

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22. 在直角坐标系 $x o y$ 中，直线l的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 \sqrt{3} t + 1 \\ y = 2 t \end{array}$ （t为参数），以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $ρ^{2} (3 + s i n^{2} θ) = 12$ ．

(1)、求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)、设点 $M (1 ， 0)$ ，直线l与曲线C交于A､B两点，求 $\frac{1}{| M A |} + \frac{1}{| M B |}$ 的值．

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x - 1 | - | x + a |$

(1)、当 $a = - 1$ 时，解不等式 $f (x) < 1$ ；

(2)、当 $x \in (- 1 ， 0)$ 时， $f (x) > 1$ 有解，求 $a$ 的取值范围．

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$P (K^{2} ⩾ k_{0})$	0.100	0.050	0.025	0.010	0.005
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879

	优秀人数	非优秀人数	总计
甲班	40
乙班
总计		50