陕西省宝鸡市陈仓区2022届高三上学期理数第一次教学质量检测试卷

试卷更新日期：2022-01-11 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | \frac{1}{4} < 2^{x} < 4}$ ， $B = {y | y = s i n \frac{π}{3} x}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(\frac{1}{2} ， 1]$ B、 $(\frac{1}{2} ， 2]$ C、 $[- 1 ， 1]$ D、 $[- 1 ， 2]$

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2. 复数 $z = \frac{2 i}{1 + i}$ 在复平面内对应点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）

7816	6572	0802	6314	0702	4369	9728	0198
3204	9234	4935	8200	3623	4869	6938	7481

A、08 B、07 C、02 D、01

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4. 下列关于命题的说法正确的是（）

A、命题“若 $x = y$ ，则 $s i n x = s i n y$ ”的逆否命题为真命题 B、“ $x = - 1$ ”是“ $x^{2} - 5 x - 6 = 0$ ”的必要不充分条件 C、命题“ $a$ ， $b$ 都是有理数”的否定是“ $a$ ， $b$ 都不是有理数” D、命题“若 $x^{2} = 1$ ，则 $x = 1$ ”的否命题为：“若 $x^{2} = 1$ ，则 $x \neq 1$ ”

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5. 等比数列 ${a_{n}}$ ，满足 $a_{n} > 0$ ， $q > 1$ ，且 $a_{3} + a_{5} = 20$ ， $a_{2} \cdot a_{6} = 64$ ，则 $S_{5} =$ （）

A、31 B、36 C、42 D、48

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6. 设 $a = \int_{0}^{π} s i n x d x$ ，则二项式 $(a \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})^{6}$ 展开式的常数项是（）

A、160 B、20 C、-20 D、-160

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7. 函数 $f (x)$ 是 $R$ 上的偶函数，且 $f (x + 1) = - f (x)$ ，若 $f (x)$ 在 $[- 1 ， 0]$ 上单调递减，则函数 $f (x)$ 在 $[3 ， 5]$ 上是（）

A、增函数 B、减函数 C、先增后减的函数 D、先减后增的函数

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8. 《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的.“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问小儿多少岁，各儿岁数要谁推，这位公公年龄最小的儿子年龄为（）

A、8岁 B、11岁 C、20岁 D、35岁

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9. 在区间 $[0 ， 1]$ 上任取两个实数 $a$ ， $b$ ，则函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - a x^{2} + b^{2} x$ 无极值点的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{2}{3}$

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10. 已知 $\sin (α + \frac{π}{6}) = \frac{1}{3}$ ，则 $\sin (2 α - \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $- \frac{7}{9}$ B、 $- \frac{2}{9}$ C、 $\frac{2}{9}$ D、 $\frac{7}{9}$

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11. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一横坐标为5的点到焦点的距离为6，且该抛物线的准线与双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ( $a > 0$ ， $b > 0$ )的两条渐近线所围成的三角形面积为 $2 \sqrt{2}$ ，则双曲线C的离心率为（）

A、3 B、4 C、6 D、9

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} a x^{2} + 1 ， x \leq 0 \\ l n x ， x ＞ 0 ， \end{array}$ ，下列关于函数 $f (f (x)) + m = 0$ 的零点个数的判断，正确的是（　　）

A、当a＝0，m∈R时，有且只有1个 B、当a＞0，m≤﹣1时，都有3个 C、当a＜0，m＜﹣1时，都有4个 D、当a＜0，﹣1＜m＜0时，都有4个

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二、填空题

13. 若 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + 2 y \geq 2 \\ 4 x + y \geq 1 \\ x y \geq 0 \end{array}$ ，则 $2 x + y$ 的最小值为．

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14. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ ，且 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ， $| 2 \vec{a} - \vec{b} | = 2 \sqrt{3}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角．

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15. 自2019年12月以来，在湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例，研究表明，该新型冠状病毒具有很强的传染性．各级政府反应迅速，采取了有效的防控阻击措施，把疫情控制在最低范围之内．某社区按上级要求做好在鄂返乡人员体格检查登记，有3个不同的住户属在鄂返乡住户，负责该小区体格检查的社区诊所共有4名医生，现要求这4名医生都要分配出去，且每个住户家里都要有医生去检查登记，则不同的分配方案共有

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16. 已知三棱锥 $S - A B C$ 的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径 $.$ 若平面 $S C A ⊥$ 平面SCB， $S A = A C$ ， $S B = B C$ ，三棱锥 $S - A B C$ 的体积为9，则球O的表面积为．

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = cos ω x (2 \sqrt{3} sin ω x - cos ω x) + {sin}^{2} ω x (ω > 0)$ 的最小正周期为 $2 π$ ．

(1)、求 $ω$ 的值；

(2)、△ABC中，角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ， $f (B) = 2$ ， $a = \sqrt{3}$ ， $△ A B C$ 面积 $S = \frac{3 \sqrt{3}}{4}$ ，求b ．

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18. 微信是现代生活信息交流的重要工具，随机对使用微信的100人进行统计，得到如下数据统计表，每天使用微信时间在两小时以上的人被定义为“微信依赖”，不超过2两小时的人被定义为“非微信依赖”，已知“非微信依赖”与“微信依赖”人数比恰为 $3 ： 2$ .
使用微信时间（单位：小时）
频数
频率
$(0 ， 0.5]$
5
0.05
$(0.5 ， 1]$
15
0.15
$(1 ， 1.5]$
15
0.15
$(1.5 ， 2]$
$x$
$p$
$(2 ， 2.5]$
30
0.30
$(2.5 ， 3]$
$y$
$q$
合计
100
1.00

(1)、确定 $x ， y ， p ， q$ 的值；

(2)、为进一步了解使用微信对自己的日常工作和生活是否有影响，从“微信依赖”和“非微信依赖”100人中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查，设选取的3人中“微信依赖”的人数为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列；

(3)、求选取的3人中“微信依赖”至少2人的概率.

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19. 如图，正方形 $A B C D$ 所在平面与等腰三角形 $E A D$ 所在平面相交于AD，EA=ED，AE⊥平面CDE.

(1)、求证： $A B ⊥$ 平面ADE；

(2)、设 $M$ 是线段 $B E$ 上一点，当直线 $A M$ 与平面 $E A D$ 所成角的正弦值为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ 时，试确定点 $M$ 的位置.

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20. 已知函数 $f (x) = x - a l n x (a \in R)$ .
（Ⅰ）当 $a = 2$ 时，求曲线 $y =$ $f (x)$ 在点 $A (1 ， f (1))$ 处的切线方程；

（Ⅱ）求函数 $f (x)$ 的极值.

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21. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，椭圆的中心 $O$ 到直线 $x + y - 2 b = 0$ 的距离为 $5 \sqrt{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设过椭圆 $C$ 的右焦点 $F$ 且倾斜角为 $45^{°}$ 的直线 $l$ 和椭圆交于 $A, B$ 两点，对于椭圆 $C$ 上任意一点 $M$ ，若 $\vec{O M} = λ \vec{O A} + μ \vec{O B}$ ，求 $λ μ$ 的最大值.

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22. 已知直线 $l ： {\begin{array}{l} x = 5 + \frac{\sqrt{3}}{2} t \\ y = \sqrt{3} + \frac{1}{2} t \end{array}$ （ $t$ 为参数），以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 c o s θ$ .

(1)、将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)、设点的直角坐标为 $(5 ， \sqrt{3})$ ，直线 $l$ 与曲线C 的交点为 $A$ ， $B$ ，求 $| M A | \cdot | M B |$ 的值.

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23. 已知 $f (x) = | 2 x - a | + | x - 1 |$ ．

(1)、当 $a = 3$ 时，求不等式 $f (x) \geq 2$ 的解集；

(2)、若 $f (x) \geq 5 - x$ ，对 $\forall x \in R$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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使用微信时间（单位：小时）	频数	频率
$(0 ， 0.5]$	5	0.05
$(0.5 ， 1]$	15	0.15
$(1 ， 1.5]$	15	0.15
$(1.5 ， 2]$	$x$	$p$
$(2 ， 2.5]$	30	0.30
$(2.5 ， 3]$	$y$	$q$
合计	100	1.00