山东省2021-2022学年高三上学期数学12月备考监测第二次联合考试试卷

试卷更新日期：2022-01-11 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知 $\vec{a} ， \vec{b}$ 是互相垂直的单位向量，若 $\vec{c} = \vec{a} - 2 \vec{b}$ ，则 $\vec{b} \cdot \vec{c} =$ （）

A、-2 B、-1 C、0 D、2

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2. 已知全集 $U \subseteq R ， ∁_{U} A = {1 ， 2} ， ∁_{U} B = {2 ， 3}$ ，且 $A ∪ B = {1 ， 3 ， 4 ， 5}$ ，则 $A =$ （）

A、 ${3 ， 5}$ B、 ${4 ， 5}$ C、 ${3 ， 4}$ D、 ${3 ， 4 ， 5}$

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3. “ $ω = 2$ ”是“ $y = 2 t a n (ω x + \frac{π}{3})$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 在正项等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 3$ ，且 $3 a_{2}$ 是 $a_{3}$ 和 $a_{4}$ 的等差中项，则 $a_{2} =$ （）

A、8 B、6 C、3 D、 $\frac{3}{2}$

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5. 若“ $\exists x \in (0 ， π) ， s i n 2 x - k s i n x < 0$ ”为假命题，则 $k$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， - 2]$ B、 $(- \infty ， 2]$ C、 $(- \infty ， - 2)$ D、 $(- \infty ， 2)$

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6. 已知函数 $f (x) = x^{3} + x - 1$ ，若 $f (l g m) = \frac{1}{2}$ ，则 $f (l g \frac{1}{m}) =$ （）

A、-1 B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{3}{2}$ D、 $- \frac{5}{2}$

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7. 某地由于人们健康水平的不断提高，某种疾病的患病率正以每年 $20 %$ 的比例降低.若要求患病率低于当前患病率的 $\frac{1}{3}$ ，则至少需要经过的时间为（）（参考数据： $l g 2 \approx 0.3 ， l g 3 \approx 0.48$ ）

A、4年 B、5年 C、6年 D、7年

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8. 如图，位于贵州黔南的“中国天眼”是具有我国自主知识产权､世界最大单口径､最灵敏的球面射电望远镜，其反射面的形状为球冠，球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为球冠的底，与截面垂直的球体直径被截得的部分为球冠的高，设球冠所在球的半径为 $R$ ，球冠底的半径为 $r$ ，球冠的高为 $h$ ，球冠底面圆的周长为 $C$ .已知球冠的表面积公式为 $S = 2 π R h$ ，若 $S = 65000 π ， C = 500 π$ ，则球冠所在球的表面积为（）

A、 $1620000 π$ B、 $1690000 π$ C、 $1720000 π$ D、 $1790000 π$

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二、多选题

9. 若 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）

A、 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} ， \vec{a} - \vec{b} ， 2 \vec{b} + \vec{c}$ B、 $\vec{a} - \vec{b} ， \vec{a} - \vec{c} ， \vec{b} - \vec{c}$ C、 $\vec{a} + 2 \vec{b} ， \vec{a} - 2 \vec{b} ， \vec{a} + \vec{c}$ D、 $\vec{a} - 2 \vec{b} ， 6 \vec{b} - 3 \vec{a} ， - \vec{c}$

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10. 已知曲线 $C_{1} ： y = c o s 2 x ， C_{2} ： y = - s i n (x + \frac{2 π}{3})$ ，则下面结论正确的是（）

A、把曲线 $C_{1}$ 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线问石平移 $\frac{5 π}{6}$ 个单位长度，得到曲线 $C_{2}$ B、把曲线 $C_{1}$ 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到曲线 $C_{2}$ C、把曲线 $C_{1}$ 向左平移 $\frac{7 π}{12}$ 个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线 $C_{2}$ D、把曲线 $C_{1}$ 向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后把得到的曲线向右平移 $π$ 个单位长度，得到曲线 $C_{2}$

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11. 我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：“今有良马和驽马发长安至齐，良马初日行一百九十三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里.良马先至齐，复还迎驽马，九日后二马相逢.”其大意为今有良马和驽马从长安出发到齐国，良马第一天走193里，以后每天比前一天多走13里；驽马第一天走97里，以后每天比前一天少走0.5里.良马先到齐国，再返回迎接驽马，9天后两马相遇.下列结论正确的是（）

A、长安与齐国两地相距1530里 B、3天后，两马之间的距离为328.5里 C、良马从第6天开始返回迎接驽马 D、8天后，两马之间的距离为377.55里

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12. 关于函数 $f (x) = \frac{e^{x} - 1}{x + 1}$ ，下列说法不正确的是（）

A、当 $x > 0$ 或 $x < - 1$ 时， $f (x) > 0$ ；当 $- 1 < x < 0$ 时， $f (x) < 0$ B、函数 $y = f (x)$ 在定义域上单调递增 C、若方程 $f (x) = k$ 恰有两个不同的实数解，则 $k = \frac{e}{2}$ D、若 $f (x) ⩾ a l n (x + 1)$ 恒成立，则 $a ⩽ 1$

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三、填空题

13. $a > 0 ， b > 0$ ，若2是 $a$ 与 $b + 1$ 的等比中项，则 $a + b$ 的最小值为.

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14. 赵爽是我国古代数学家､天文学家，约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图所示的是一张弦图，已知大正方形的面积为169，小正方形的面积为49，若直角三角形较小的锐角为 $α$ ，则 $t a n (α + \frac{3 π}{4})$ 的值为.

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15. 设复数 $z$ 满足 $| z | = | z + 1 |$ ，且 $\frac{z - 1}{z + 1}$ 是纯虚数，试写出一个满足条件的复数： $z =$ .

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16. 如图，某校学生在开展数学建模活动时，用一块边长为 $12 d m$ 的正方形铝板制作一个无底面的正 $n$ 棱锥（侧面为等腰三角形，底面为正 $n$ 边形）道具，他们以正方形的儿何中心为田心， $6 d m$ 为半径画圆，仿照我国古代数学家刘徽的割圆术裁剪出 $m$ 份，再从中取 $n$ 份，并以O为正 $n (n \geq 3)$ 棱锥的顶点，且 $O$ 落在底面的射影为正 $n$ 边形的几何中心 $O_{1} ， ∠ A_{1} O_{1} A_{2} = \frac{2 π}{n}$ ，侧面等腰三角形的顶角为 $∠ A_{1} O A_{2} = α$ ，当 $c o s ∠ A_{1} O_{1} A_{2} = 2 c o s α - 1$ 时，设正棱锥的体积为 $V d m^{3}$ ，则 $\frac{V}{n}$ 的最大值为.

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四、解答题

17. 在① $△ A B C$ 的周长为6，② $a s i n B = 2$ ， ③ $a b = 4$ 这三个条件中任选一个，补充在下画问题中.若问题中的三角形存在，判断 $△ A B C$ 的形状；若问题中的三角形不存在，说明理由.
问题：是否存在 $△ A B C$ ，它的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $a ， c ， b$ 成等差数列， $S_{△ A B C} = \sqrt{3}$ ， ▲ ？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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18. 根据市场调查，某种商品在最近30天内的价格 $f (t)$ （单位：元/件）､日销售量 $g (t) ($ 单位：件）与时间 $t$ （单位：天）的关系分别是 $f (t) = {\begin{array}{l} t + 40 ， 0 ⩽ t < 10 ， \\ \frac{100 t}{t + 10} ， 10 ⩽ t ⩽ 30 \end{array} (t \in N) ， g (t) = - t + 50 ， (0 ⩽ t ⩽ 30 ， t \in N) .$

(1)、求该商品的日销售额 $y$ （单位：元）与时间 $t$ 之间的函数关系式；

(2)、求这种商品的日销售额的最大值.注：日销售额=销售量 $\times$ 价格.

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19. 如图，在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 1 ， E$ 为 $C C_{1}$ 的中点.

(1)、当 $A A_{1} = 2$ 时，证明：平面 $B D E ⊥$ 平面 $A_{1} B_{1} E$ .

(2)、当 $A A_{1} = 3$ 时，求 $A_{1}$ 到平面 $B D E$ 的距离.

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20. 设函数 $f (x) = m s i n (ω x + φ)$ ，其中 $m > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2}$ ，其图象的两条对称轴间的最短距离是 $\frac{π}{2}$ ，若 $f (x) ⩾ f (- \frac{π}{12})$ 对 $x \in R$ 恒成立，且 $f (- \frac{π}{12}) = - 2$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、在锐角 $△ A B C$ 中， $A ， B ， C$ 是 $△ A B C$ 的三个内角，满足 $f (\frac{B}{2}) = s i n (A - B) - \sqrt{3} c o s (A - B)$ ，求 $\frac{s i n C}{s i n B}$ 的取值范围.

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1} = 2 ， a_{n} = \frac{2 a_{n - 1}}{a_{n - 1} + 4} (n ⩾ 2)$ .

(1)、证明数列 ${\frac{1}{a_{n}} + \frac{1}{2}}$ 是等比数列，并求出 ${a_{n}}$ 的通项公式.

(2)、证明： $2 [1 - {(\frac{1}{2})}^{n}] < S_{n} < \frac{7}{2}$ .

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22. 设函数 $f (x) = l n x - a x + 1$ .

(1)、若 $f (x) ⩽ 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

(2)、证明： $(\frac{l n x}{x} + 1) (e^{- x} + 1) < \frac{2}{e} + 1$ .

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