辽宁省名校联盟2021-2022学年高三上学期数学12月份联合考试试卷

试卷更新日期：2022-01-11 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设全集 $U = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 4}$ ，集合 $A = {- 1 ， 0 ， 2}$ ， $B = {0 ， 1 ， 2 ， 4}$ ，则 $∁_{U} (A ∩ B) =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 ${- 1 ， 1}$ C、 ${1 ， 4}$ D、 ${- 1 ， 1 ， 4}$

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2. 设复数 $z$ 在复平面内对应的点为 $(2 ， - 1)$ ，则 $\frac{2 z}{1 - i}$ 的虚部为（）

A、 $i$ B、-1 C、1 D、3

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3. 攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑．下面以圆形攒尖为例．如图所示的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是底边长为 $6 m$ ，顶角为 $\frac{2 π}{3}$ 的等腰三角形，则该屋顶的体积约为（）

A、 $6 π m^{3}$ B、 $3 \sqrt{3} π m^{3}$ C、 $9 \sqrt{3} π m^{3}$ D、 $12 π m^{3}$

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4. 已知角 $α$ 的顶点在原点，始边与 $x$ 轴的正半轴重合，终边经过点 $P (c o s 1 5^{∘} + s i n 1 5^{∘} ， c o s 1 5^{∘} - s i n 1 5^{∘})$ ，则 $t a n α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、1 C、 $\sqrt{3}$ D、2

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5. 在底面为正方形的长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 2 A B$ ， $P ， R$ 分别为 $B_{1} D_{1} ， D D_{1}$ 的中点，则直线 $C_{1} P$ 与 $A R$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$

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6. 已知点 $A (- 5 ， 0)$ 、 $B (5 ， 0)$ ，动点 $P (m ， n)$ 满足：直线 $P A$ 的斜率与直线 $P B$ 的斜率之积为 $- \frac{16}{25}$ ，则 $4 m^{2} + n^{2}$ 的取值范围为（）

A、 $[16 ， 100]$ B、 $[25 ， 100]$ C、 $[16 ， 100)$ D、 $(25 ， 100)$

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7. 北京时间2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号 $F$ 遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，长征系列火箭的频频发射成功，标志着我国在该领域已逐步达到世界一流水平．在不考虑空气动力和地球引力的理想情况下，可以用公式 $v = v_{0} \cdot l n (1 + \frac{M}{m})$ 计算火箭的最大速度 $v (m / s)$ ，其中 $v_{0} (m / s)$ 是喷流相对速度， $m (k g)$ 是火箭（除推进剂外）的质量， $M (k g)$ 是推进剂与火箭质量的总和， $\frac{M}{m}$ 称为总质比，当总质比较大时， $1 + \frac{M}{m}$ 用 $\frac{M}{m}$ 近似计算，若将火箭的总质比从500提升到1000，则其最大速度 $v$ 大约增加了（）（参考数据： $l g 2 \approx 0.3010 ， l g 3 \approx 0.4771$ ）

A、5% B、11% C、20% D、30%

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8. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $y = f (x)$ 的图像是一条连续不断的曲线， $f (x + 1)$ 为偶函数， $f (2 x + 2)$ 为奇函数， $f (0) = 0$ ，当 $x \in (0 ， 2)$ 时， $f (x) < 0$ ，则当 $x \in (2 ， 8)$ 时， $f (x) > 0$ 的解集为（）

A、 $(4 ， 5)$ B、 $(6 ， 8)$ C、 $(5 ， 7)$ D、 $(2 ， 4) ∪ (6 ， 8)$

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二、多选题

9. 已知命题 $p ： \exists x \in R ， a x^{2} - 4 x - 4 = 0$ ，若 $p$ 为真命题，则 $a$ 的值可以为（）

A、-2 B、-1 C、0 D、3

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10. 若 $0 < a < b$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a^{4} < a b^{3}$ B、 $a + \frac{1}{b} > b + \frac{1}{a}$ C、 $a + 2 b > 4 \sqrt{a b}$ D、 $\frac{a}{b} < \frac{a + 2}{b + 2}$

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11. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < 1)$ 的部分图象如图所示，下列结论正确的是（）

A、 $φ = - \frac{π}{4}$ B、将 $f (x)$ 的图象向右平移 $1$ 个单位，得到函数 $y = 2 s i n \frac{π}{4} x$ 的图象 C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - 1$ 对称 D、若 $| x_{1} - x_{2} | < 4$ ，则 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | < 4$

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12. 斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用 $a_{n}$ 表示斐波那契数列的第 $n$ 项，则数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = a_{2} = 1 ， a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n}$ ，记 $\sum_{i = 1}^{n} a_{i} = a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{n}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a_{10} = 55$ B、 $3 a_{n} = a_{n - 2} + a_{n + 2} (n \geq 3)$ C、 $\sum_{i = 1}^{2019} a_{i} = a_{2021}$ D、 $\sum_{i = 1}^{2021} a_{i}^{2} = a_{2021} \cdot a_{2022}$

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (3 ， - 1) ， \vec{b} = (4 ， - 2)$ ，且 $\vec{a} ⊥ (λ \vec{a} - \vec{b})$ ，则实数 $λ$ 的值为．

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14. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数 $f (x)$ 的解析式为 $f (x) =$ ．
① $f (4 - x) = f (x)$ ；②当 $x \in (2 ， + \infty)$ 时， $f (x) < 0$ ；③ $f (x)$ 的最大值大于1．

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15. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y = 0$ 恰好被双曲线 $D ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线平分成周长相等的两部分，则 $D$ 的离心率为．

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16. 对于函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ ，若存在 $x_{0}$ ，使 $f (x_{0}) = - g (x_{0})$ ，则称点 $A (x_{0} ， f (x_{0}))$ ， $B (x_{0} ， g (x_{0}))$ 是函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 图象的一对“靓点”．已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | l n x | ， x > 0 \\ x^{2} + 2 x + 2 ， x \leq 0 \end{array}$ ， $g (x) = k x$ ，若函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 恰有两对“靓点”，则 $k$ 的取值范围为．

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四、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{8} = a_{4} + 8$ ， $S_{5} = 7 a_{2}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = a_{n} + 2^{a_{n} - 1}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $b (2 - c o s A) = \sqrt{3} a s i n B$ ．

(1)、若 $a ： b ： c = 1 ： 2 ： 2$ ，则此时 $△ A B C$ 是否存在？若存在，求 $△ A B C$ 的面积；若不存在，请说明理由；

(2)、若 $△ A B C$ 的外接圆半径为4，且 $b - c = \frac{a}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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19. 已知圆 $C$ 经过点 $A (- 1 ， 0)$ 和 $B (5 ， 0)$ ，且圆心在直线 $x + 2 y - 2 = 0$ 上．

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、直线 $l$ 过点 $D (- 1 ， 1)$ ，且与圆 $C$ 相切，求直线 $l$ 的方程；

(3)、设直线 $l ： x + \sqrt{3} y - 1 = 0$ 与圆 $C$ 相交于 $M ， N$ 两点，点 $P$ 为圆 $C$ 上的一动点，求 $△ P M N$ 的面积 $S$ 的最大值．

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是矩形， $P A = 2 A D = 4$ ，且 $P C = 2 \sqrt{6}$ ，点 $E$ 在 $P C$ 上．

(1)、求证：平面 $B D E ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若 $E$ 为 $P C$ 的中点，求直线 $P C$ 与平面 $A E D$ 所成的角的正弦值．

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21. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $M (x_{0} ， 4)$ 在 $C$ 上，且 $| M F | = \frac{5 p}{2}$ ．

(1)、求点 $M$ 的坐标及 $C$ 的方程；

(2)、设动直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A ， B$ 两点，且直线 $M A$ 与 $M B$ 的斜率互为倒数，试问直线 $l$ 是否恒过定点？若过，求出该点坐标；若不过，请说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = x l n x - m x + m$ ，其中 $m \in R$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、请在下列两问中选择一问作答，答题前请标好选择．如果多写按第一个计分．
①若对任意 $x \in (0 ， 1)$ ，不等式 $f (x) > - x$ 恒成立，求 $m$ 的最小整数值；
②若存在 $x \in (1 ， + \infty)$ ，使得不等式 $f (x) < - l n x$ 成立，求 $m$ 的取值范围．

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