河南省2021-2022学年高三上学期理数第五次联考试卷

试卷更新日期：2022-01-11 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 9 x - 22 \leq 0}$ ， $B = {x | x = 3^{n} ， n \in N}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${9}$ B、 ${1 ， 3}$ C、 ${3 ， 9}$ D、 ${1 ， 3 ， 9}$

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2. 若 $(z - 1) i = i - 2$ ，则 $z =$ （）

A、 $2 + 2 i$ B、 $2 - 2 i$ C、 $2 i$ D、 $- 2 i$

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3. 已知点 $A (- 1 ， 2)$ ， $B (1 ， 0)$ ， $C (1 ， - 2)$ ， $D (4 ， 2)$ ，则向量 $\vec{A B}$ 与 $\vec{C D}$ 夹角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{10}$ C、 $- \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ D、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$

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4. 将函数 $f (x) = s i n (2 x + \frac{π}{3}) + 2 s i n^{2} (x + \frac{π}{6})$ 的图象向左平移 $φ (φ > 0)$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，其图象关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 对称，则 $ϕ$ 的最小值为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{8}$ D、 $\frac{π}{6}$

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5. 已知 $f (x + 1)$ 是定义在 $R$ 上且周期为2的函数，当 $x \in [- 1 ， 1)$ 时， $f (x) = {\begin{array}{l} - 2 x^{2} + 4 ， - 1 \leq x < 0 ， \\ s i n π x ， 0 \leq x < 1 ， \end{array}$ 则 $f (3) \cdot f (- \frac{10}{3}) =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $- \sqrt{3}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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6. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A = P B = C A = C B = 5$ ， $A B = P C = 2$ ，点 $D$ ， $E$ 分别为 $A B$ ， $P C$ 的中点，则异面直线 $P D$ ， $B E$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{11}{12}$ B、 $\frac{23}{24}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{5}{6}$

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7. 2021年1月18号，国家航天局探月与航天工程中心表示，中国首辆火星车全球征名活动已经完成了初次评审．评审委员会遴选出弘毅、麒麟、哪吒、赤兔、祝融、求索、风火轮、追梦、天行、星火10个名称，将其作为中国首辆火星车的命名范围．某同学为了研究这些初选名称的涵义，计划从中选3个名称依次进行分析，其中有1个是祝融，其余2个从剩下的9个名称中随机选取，则祝融不是第3个被分析的情况有（）

A、144种 B、336种 C、672种 D、1008种

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8. 下列说法正确的为（）

A、某高中为了解在校学生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本．已知该校高一、高二、高三年级学生数之比为5：4：3，则应从高三年级中抽取14名学生 B、10件产品中有8件正品，2件次品，若从这10件产品中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为 $\frac{1}{3}$ C、若随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (2 ， σ^{2})$ ， $P (X < 5) = 0.86$ ，则 $P (X \leq - 1) = 0.14$ D、设某校男生体重 $y$ （单位：kg）与身高 $x$ （单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据 $(x_{i} ， y_{i}) (i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n)$ ，用最小二乘法建立的回归方程为 $y = 0.85 x - 82$ ，若该校某男生的身高为170cm，则可断定其体重为62.5kg

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9. 已知 $3^{a} = 5^{b} = \sqrt{15}$ ，则下列选项错误的是（）

A、 $a + b = 2 a b$ B、 $a b > 1$ C、 $l o g_{2} a + l o g_{2} b > 0$ D、 ${(a - \frac{1}{2})}^{2} + {(b - \frac{1}{2})}^{2} < \frac{1}{2}$

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10. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{n} = \sqrt{1 + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{{(n + 1)}^{2}}}$ ，则（）

A、 $a_{n} = \frac{n^{2} + n + 2}{n (n + 1)}$ B、 $S_{n} = \frac{n^{2} + n - 1}{n + 1}$ C、 $a_{n} \leq \frac{3}{2}$ D、满足 $S_{n} \leq 2021$ 的 $n$ 的最大值为2021

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11. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $\frac{1}{2} f (x) + f (x) > 0$ ，且有 $f (1) = \frac{1}{2}$ ，则 $2 f (x) > e^{\frac{1 - x}{2}}$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， 2)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 1)$ D、 $(2 ， + ∞)$

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12. 我国南北朝时期的著作《孙子算经》中对同余问题有了较深的研究．设 $a$ ， $b$ ， $m$ 为正整数，若 $a$ 和 $b$ 被 $m$ 除得的余数相同，则称 $a$ 和 $b$ 对模 $m$ 同余，记为 $a \equiv b (m o d m)$ ．下列说法正确的是（）

A、若 $| a - 2 b | = k m$ ， $k \in N^{*}$ ，则 $a \equiv b (m o d m)$ B、 $2^{27} \equiv 65 (m o d 7)$ C、若 $a \equiv (m + 2) (m o d m)$ ， $b \equiv (m + 3) (m o d m)$ ， $m > 6$ ，则 $a b \equiv (m + 5) (m o d m)$ D、若 $a \equiv b (m o d m)$ ， $n \in N^{*}$ ，则 $a^{n} \equiv b^{n} (m o d m)$

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二、填空题

13. 抛物线 $y = - 6 x^{2}$ 的焦点坐标为．

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14. 已知 $α$ 为第四象限角，且 $c o s α = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则 $\frac{\sqrt{2} s i n (α - \frac{π}{4})}{c o s^{2} α - s i n^{2} α} =$ ．

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15. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ ，过左焦点 $F$ 且斜率为 $\frac{1}{4}$ 的直线交 $C$ 的一条渐近线于点 $A$ ，且 $A$ 在第一象限，若 $| O A | = | O F |$ （ $O$ 为坐标原点），则 $C$ 的渐近线方程为．

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16. 如图所示的四边形 $A B C D$ 是边长为 $\sqrt{2}$ 的正方形，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，将 $△ B D A$ 沿 $B D$ 折起到 $△ B D A$ 的位置，使平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ．给出以下5个结论：
① $A C ⊥ B D$ ；② $△ A B C$ 和 $△ A C D$ 都是等边三角形；③平面 $A B C ⊥$ 平面 $A^{^{'}} C D$ ；④ $V_{A - B C D} = \frac{1}{3}$ ；⑤三棱锥 $A - B C D$ 表面的四个三角形中，面积最大的是 $△ A B C$ 和 $△ A C D$ ．
其中所有正确结论的序号是．

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $\sqrt{3} \vec{A B} \cdot \vec{A C} = 2 S_{△ A B C}$ ， $b + c = 8$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、求 $a$ 的最小值．

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18. 如图，某市有南、北两条城市主干道，在出行高峰期，北干道有 $N_{1}$ ， $N_{2}$ ， $N_{3}$ ， $N_{4}$ ，四个交通易堵塞路段，它们被堵塞的概率都是 $\frac{1}{3}$ ，南干道有 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，两个交通易堵塞路段，它们被堵塞的概率分别为 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{2}{3}$ ．某人在高峰期驾车从城西开往城东，假设以上各路段是否被堵塞互不影响．

(1)、求北干道的 $N_{1}$ ， $N_{2}$ ， $N_{3}$ ， $N_{4}$ 个易堵塞路段至少有一个被堵塞的概率；

(2)、若南干道被堵塞路段的个数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望 $E (X)$ ；

(3)、若按照“平均被堵塞路段少的路线是较好的高峰期出行路线”的标准，则从城西开往城东较好的高峰期出行路线是哪一条？请说明理由．

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19. 如图所示的四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是一个等腰梯形， $A D / / B C$ ，且 $A D = 2 A B = 2 B C = 4$ ， $P O$ 是 $△ P A D$ 的中线，点 $E$ 是棱 $P D$ 的中点．

(1)、证明： $C E / /$ 平面 $P A B$ ．

(2)、若平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且 $P A = P D$ ， $P O = A O$ ，求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 所成锐二面角的余弦值．

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20. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，且椭圆 $E$ 经过点 $(1 ， \frac{3}{2})$ ，过右焦点 $F$ 作两条互相垂直的弦 $A B$ 和 $C D$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、当四边形 $A C B D$ 的面积取得最小值时，求弦 $A B$ 所在直线的方程．

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21. 已知函数 $f (x) = (x - 1) e^{x} + x$ ．

(1)、判断 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $x \in [0 ， + \infty)$ 时， $f (x) \geq (x + 1) l n (x + 1) - a x^{2} - 1$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \frac{4 t}{1 + t^{2}} ， \\ y = \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}} \end{array}$ （ $t$ 为参数）．以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $ρ c o s θ - ρ s i n θ - 4 = 0$

(1)、求 $C$ 普通方程和 $l$ 的直角坐标方程；

(2)、若 $P$ 为曲线 $C$ 上任意一点，直线 $l$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴的交点分别为 $A ， B$ ，求 $△ P A B$ 面积的最大值．

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23. 已知函数 $f (x) = | x + 2 | - | a x - 2 |$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) > 2$ 的解集；

(2)、当 $x \in (0 ， 2)$ 时， $f (x) > x$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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