广东省2022届高三上学期数学12月大联考试卷

试卷更新日期：2022-01-11 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x ∣ y = \frac{x}{\sqrt{1 - x}}} ， B = {x ∣ x^{2} - x - 2 < 0}$ ，它们的关系如图（ $V e n n$ 图）所示，则阴影部分表示的集合为（）

A、 ${x ∣ - 1 \leq x < 2}$ B、 ${x ∣ - 1 < x < 2}$ C、 ${x ∣ 1 \leq x < 2}$ D、 ${x ∣ 1 < x < 2}$

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2. 若 $z (1 + 2 i) = 1 - i^{3}$ ，则 $z =$ （）

A、 $\frac{1}{5} - \frac{3}{5} i$ B、 $\frac{1}{5} + \frac{3}{5} i$ C、 $\frac{3}{5} - \frac{1}{5} i$ D、 $\frac{3}{5} + \frac{1}{5} i$

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3. 如图，在直角梯形 $A B C D$ 中， $A B$ $∥$ $C D ， A B ⊥ A D ， A B = 2 A D = 4 C D$ ，点 $E$ 为 $A D$ 的中点，设 $\vec{B E} = x \vec{B A} + y \vec{B C}$ ，则 $x + y =$ （）

A、 $\frac{9}{8}$ B、 $\frac{5}{8}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{3}{2}$

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4. 若 $s i n (\frac{π}{8} - α) = \frac{1}{4}$ ，则 $c o s (\frac{3 π}{4} + 2 α) =$ （）

A、 $- \frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $- \frac{7}{8}$ D、 $\frac{7}{8}$

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5. 若数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = - 3 ， a_{n + 1} = \frac{1 + a_{n}}{1 - a_{n}}$ ，则 $a_{2022}$ 的值为（）

A、2 B、-3 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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6. 水果采摘后，如果不进行保鲜处理，其新鲜度会逐渐流失，某水果产地的技术人员采用一种新的保鲜技术后发现水果在采摘后的时间 $t$ （单位：小时）与失去的新鲜度 $y$ 满足函数关系式： $y = {\begin{array}{l} \frac{1}{1000} t^{2} ， 0 \leq t < 10 \\ \frac{1}{20} \cdot 2^{\frac{20 + t}{30}} ， 10 \leq t \leq 100 \end{array}$ ，为了保障水果在销售时的新鲜度不低于 $85 %$ ，从水果采摘到上市销售的时间间隔不能超过（）（参考数据： $l o g_{2} 3 \approx 1.6$ ）

A、20小时 B、25小时 C、28小时 D、35小时

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7. 已知函数 $f (x) = e^{| x |} - c o s x$ ，则 $f (\frac{6}{5}) ， f (0) ， f (- \frac{1}{3})$ 的大小关系为（）

A、 $f (0) < f (\frac{6}{5}) < f (- \frac{1}{3})$ B、 $f (0) < f (- \frac{1}{3}) < f (\frac{6}{5})$ C、 $f (\frac{6}{5}) < f (- \frac{1}{3}) < f (0)$ D、 $f (- \frac{1}{3}) < f (0) < f (\frac{6}{5})$

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8. 甲､乙､丙､丁四名交通志愿者申请在国庆期间到 $A ， B ， C$ 三个路口协助交警值勤，他们申请值勤路口的意向如下表：
交通路口
A
B
C
志愿者
甲､乙､丙､丁
甲､乙､丙
丙､丁
这4名志愿者的申请被批准，且值勤安排也符合他们的意向，若要求 $A ， B ， C$ 三个路口都要有志愿者值勤，则不同的安排方法数有（）

A、14种 B、11种 C、8种 D、5种

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二、多选题

9. 为了贯彻“双减”政策，实现德､智､体､美､劳全面发展的育人目标，某校制订了一套五育并举的量化评价标准，如图是该校甲､乙两个班在评比时的得分（各项满分10分，得分越高，成绩越好）折线图，则下列说法正确的是（）

A、甲班五项评比得分的极差为1.7 B、甲班五项评比得分的平均数小于乙班五项评比得分的平均数 C、甲班五项评比得分的中位数大于乙班五项评比得分的中位数 D、甲班五项评比得分的方差小于乙班五项评比得分的方差

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10. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + \frac{π}{4}) (ω > 0)$ ，则下列说法正确的是（）

A、若函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ，则其图象关于直线 $x = \frac{π}{8}$ 对称 B、若函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ，则其图象关于点 $(\frac{π}{8} ， 0)$ 对称 C、若函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， \frac{π}{8})$ 上单调递增，则 $ω$ 的最大值为2 D、若函数 $f (x)$ 在 $[0 ， 2 π]$ 有且仅有5个零点，则 $ω$ 的取值范围是 $\frac{19}{8} \leq ω < \frac{23}{8}$

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11. 已知双曲线 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1 ， A ， B$ 两点分别是双曲线 $C$ 的左，右顶点，点 $P$ 是双曲线 $C$ 上任意一点（与 $A ， B$ 两点不重合），记直线 $P A ， P B$ 的斜率分别为 $k_{1} ， k_{2}$ ，则（）

A、双曲线 $C$ 的焦点到渐近线的距离为4 B、若双曲线 $C$ 的实半轴长，虚半轴长同时增加相同的长度 $m (m > 0)$ ，则离心率变大 C、 $k_{1} \cdot k_{2}$ 为定值 D、存在实数 $t$ 使得直线 $y = \frac{5}{3} x + t$ 与双曲线左，右两支各有一个交点

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12. 四棱锥 $P - A B C D$ 的顶点都在球心为 $O$ 的球面上，且 $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为矩形， $P A = A B = 2 ， A D = 4$ 设 $E ， F$ 分别是 $P B ， B C$ 的中点，则（）

A、平面 $A E F$ $∥$ 平面 $P C D$ B、四棱锥 $P - A B C D$ 外接球的半径为 $\sqrt{6}$ C、 $P ， B ， C$ 三点到平面 $A E F$ 的距离相等 D、平面 $A E F$ 截球 $O$ 所得的截面面积为 $\frac{14 π}{3}$

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三、填空题

13. 一条光线从点 $P (1 ， 1)$ 射出，被 $x$ 轴反射后经过圆 $x^{2} + y^{2} - 4 y + 3 = 0$ 的圆心C，则入射光线所在的直线方程为.

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14. 曲线 $f (x) = e^{x} + s i n x$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程为．

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15. 已知随机变量 $X \sim N (80 ， σ^{2})$ ，若 $P (X > 100) = a ， P (60 < X < 100) = b$ ，则 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为.

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16. 如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截得的截面图形为椭圆，截得的几何体的最短母线长和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为，截面椭圆的离心率为.

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四、解答题

17. 在各项都为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{1} = 4$ ，其前 $n$ 项的积为 $T_{n}$ ，且 $T_{5} = 4^{10}$ ， $S_{n}$ 是数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且 $S_{n} = \frac{3}{2} n^{2} + \frac{1}{2} n$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{b_{n}}}$ 的前 $n$ 项和 $R_{n}$ .

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $a = 6 ， b = 5 ， c o s A = \frac{1}{8}$ ，点 $D$ 为边 $B C$ 上的点，且 $B D = 2 D C$ .

(1)、求 $△ A B C$ 的面积.

(2)、求线段 $A D$ 的长.

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19. 2020年9月，中国在第75届联合国大会上承诺，将采取更加有力的政策和措施，力争于2030年之前使二氧化碳的排放达到峰值，努力争取2060年之前实现碳中和（简称“双碳目标”），此举展现了我国应对气候变化的坚定决心，预示着中国经济结构和经济社会运转方式将产生深刻变革，极大促进我国产业链的清洁化和绿色化.新能源汽车､电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用为了解某一地区纯电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电汽车销量y（单位：万台）关于x（年份）的线性回归方程为 $y = 4.7 x - 9459.2$ ，且销量 $y$ 的方差为 $s_{y}^{2} = \frac{254}{5}$ ，年份 $x$ 的方差为 $s_{x}^{2} = 2$ .

(1)、求 $y$ 与 $x$ 的相关系数 $r$ ，并据此判断电动汽车销量 $y$ 与年份 $x$ 的相关性强弱；

(2)、该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：

购买非电动车
购买电动车
总计
男性
39
6
45
女性
30
15
45
总计
69
21
90
请判断有多大的把握认为购买电动汽车与性别有关；

(3)、在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中，男性的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望.
①参考数据： $\sqrt{5 \times 127} = \sqrt{635} \approx 25$
②参考公式：（i）线性回归方程： $y = b x + a$ ，其中 $b = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - x) (y_{i} - y)}{\sum_{i = 1}^{n} {(_{x} - x)}^{2}} ， a = y - b x$
（ii）相关系数： $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(_{x} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(_{y} - \bar{y})}^{2}}}$ ，若 $r > 0.9$ ，则可判断y与x线性相关较强.
（iii） $k^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
附表：
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
$k_{0}$
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828

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20. 如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C ⊥ B C ， | A C | = | B C | = 2$ ，点 $D ， E$ 分别边 $A A_{1} ， B C$ 的中点，直线 $D E$ 与底面 $A B C$ 所成的正弦角值为 $\frac{\sqrt{14}}{7}$ .

(1)、求证： $D E$ $∥$ 平面 $A_{1} B_{1} C$ ；

(2)、求二面角 $B - A_{1} C - B_{1}$ 的余弦值.

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21. 已知圆 $(x + 1)^{2} + y^{2} = 16$ 的圆心为 $A$ ，点 $P$ 是圆 $A$ 上的动点，点 $B$ 是抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点，点 $G$ 在线段 $A P$ 上，且满足 $| G P | = | G B |$ .

(1)、求点 $G$ 的轨迹 $E$ 的方程；

(2)、不过原点的直线 $l$ 与（1）中轨迹 $E$ 交于 $M ， N$ 两点，若线段 $M N$ 的中点 $Q$ 在抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上，求直线 $l$ 的斜率 $k$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = a l n x - x (a \in R)$ .

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $y = f (x)$ 在其定义域内有两个不同的零点，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若 $0 < x_{1} < x_{2}$ ，且 $\frac{x_{1}}{l n x_{1}} = \frac{x_{2}}{l n x_{2}} = a$ ，证明： $\frac{x_{1}}{l n x_{1}} < 2 x_{2} - x_{1}$ .

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交通路口	A	B	C
志愿者	甲､乙､丙､丁	甲､乙､丙	丙､丁

	购买非电动车	购买电动车	总计
男性	39	6	45
女性	30	15	45
总计	69	21	90

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828