辽宁省大连市2022年普通高中数学学业水平合格性考试模拟试卷（三）

试卷更新日期：2022-01-11 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合A = {0，1，2}，B = {1，2}，则A $∩$ B =（）

A、{0} B、{1} C、{2} D、{1，2}

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2. 如果命题p ： $\forall x \in$ R， $x^{2} - x + 1 > 0$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\neg p$ $： ∃ x \in$ R， $x^{2} - x + 1 > 0$ B、 $\neg p$ $： ∀ x \in$ R， $x^{2} - x + 1 < 0$ C、 $\neg p$ $： ∃ x \in$ R， $x^{2} - x + 1 \leq 0$ D、 $\neg p$ $： ∀ x \in$ R， $x^{2} - x + 1 \leq 0$

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3. $s i n 60 °$ 的值为（）

A、0 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、1

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4. 下列函数在R上为增函数的是（）

A、 $y = x^{2}$ B、 $y = x$ C、 $y = - \sqrt{x}$ D、 $y = \frac{1}{x}$

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5. 如果一个长方体的长、宽、高分别是6，5，3，则它的体积为（）

A、15 B、18 C、30 D、90

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6. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ ， $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{3}$ ，则 $< \vec{a} ， \vec{b} > =$ （）

A、0 B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{2}$

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7. 函数 $f (x) = \sqrt{x + 1}$ 的定义域为（）

A、 $[- 1 ， + \infty)$ B、 $(2 ， + \infty)$ C、 $(- 1 ， 0)$ D、 $[- 2 ， 0]$

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 1 ， x \geq 0 \\ x ， x < 0 \end{array}$ ，则 $f (- 1)$ 的值为（）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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9. 不等式 $(x + 3) (x - 1) > 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， - 3)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 3) ∪ (1 ， + \infty)$ D、 $(- 3 ， - 1)$

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10. 在“双十一”的促销活动中，某商场对11月11日9时到14时客流量进行随机抽样，统计结果绘制成频率分布直方图，如图，则频率分布直方图中实数a的值为（）

A、0.15 B、0.20 C、0.25 D、0.30

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11. 函数 $f (x) = 2^{x} + x$ ，在下列区间中，包含函数 $f (x)$ 零点的区间为（）

A、 $(2 ， 3)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(- 1 ， 0)$ D、 $(- 3 ， - 2)$

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12. $α ， β$ 是锐角，且 $s i n α = \frac{5}{13}$ ， $c o s β = \frac{4}{5}$ ，则 $s i n (α + β)$ 的值是

A、 $\frac{33}{65}$ B、 $\frac{16}{65}$ C、 $\frac{56}{65}$ D、 $\frac{63}{65}$

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二、填空题

13. 已知一组数 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4}$ 的平均数为4，则另一组数 $3 x_{1} ， 3 x_{2} ， 3 x_{3} ， 3 x_{4}$ 的平均数为.

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14. 计算： $l o g_{2} 4 =$ .

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15. 已知向量 $a = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， 1)$ ，则 $\vec{a} - \vec{b}$ =.

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16. 已知 $x > 0$ ，函数 $f (x) = x + \frac{4}{x}$ 的最小值为．

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = s i n x + 2$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、当x $\in$ [0，2π]时，求函数 $f (x)$ 的最大值及取得最大值时 $x$ 的值.

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18. 如图，旗杆AB高8m，它的顶端A挂着两条长10m的绳子，拉紧绳子，使绳子的末端分别与地面接触，记接触点为C，D（和旗杆脚B不在同一条直线上）.

(1)、如果C，D两点和旗杆脚B的距离都是6m，就证明旗杆和地面垂直，请写出证明过程；

(2)、如果E为绳子AC的中点，在旗杆AB上是否存在一点F，使EF和地面平行？如果存在，请确定点F的位置，并写出证明过程；如果不存在，请说明理由.

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19. 已知向量 $\vec{A B} = (3 ， 4)$ ， $\vec{C D} = (5 ， y)$ .

(1)、求 $| \vec{A B} |$ ；

(2)、当 $\vec{A B} ⊥ \vec{C D}$ 时，求y的值.

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20. 在 $△ A B C$ 中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若 $∠ A = 6 0^{o} ，^{} s i n B = \frac{1}{2} ， b = 8$ .

(1)、求a ；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积.

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21. 在抗击新冠肺炎疫情期间，某校开展了“名师云课”活动，活动自开展以来获得广大家长和学生的高度关注.在“名师云课”中，数学学科共计推出72节云课，为了更好地将课程内容呈现给学生，现随机抽取某一时段数学学科的云课点击量进行统计：
点击量
[0，700]
（700，1400]
（1400，2100]
节数
12
36
24

(1)、现从数学学科72节云课中采用分层抽样的方式选出6节，求选出云课的点击量在（700，1400]内的节数；

(2)、为了更好地搭建云课平台，现将数学学科云课进行剪辑，若点击量在 [0，700]内，则需要花费40分钟进行剪辑，若点击量在（700，1400]内，则需要花费20分钟进行剪辑，若点击量在（1400，2100]内，则不需要剪辑.现从（1）问选出的6节课中任意选出2节课进行剪辑，求剪辑时间为60分钟的概率.

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点击量	[0，700]	（700，1400]	（1400，2100]
节数	12	36	24