吉林省长春市农安县2021-2022学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-01-10 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列方程中，是一元二次方程的是（）

A、 $\frac{1}{x^{2}} + x - 1 = 0$ B、 $3 x + 1 = 5 x + 4^{2}$ C、 $a x^{2} + b x + c = 0$ D、 $m^{2} - 2 m + 1 = 0$

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2. 下列说法正确的是（）

A、“买中奖率为 $\frac{1}{10}$ 的奖券10张，中奖”是必然事件 B、“汽车累积行驶 $10000 k m$ ，出现一次故障”是随机事件 C、襄阳气象局预报说“明天的降水概率为70%”，意味着襄阳明天一定下雨 D、若两组数据的平均数相同，则方差大的更稳定

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3. 下列二次根式中，与 $\sqrt{3}$ 是同类二次根式的是（）

A、 $\sqrt{\frac{8}{9}}$ B、 $\sqrt{27}$ C、 $\sqrt{\frac{2}{3}}$ D、 $\sqrt{18}$

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4. 如图，某停车场入口的栏杆 $A B$ ，从水平位置绕点O旋转到 $A B$ 的位置，已知 $A O$ 的长为5米．若栏杆的旋转角 $∠ A O A = α$ ，则栏杆A端升高的高度为（）

A、 $\frac{5}{s i n α}$ 米 B、 $\frac{5}{c o s α}$ 米 C、 $5 s i n α$ 米 D、 $5 c o s α$ 米

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5. 如图，已知∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是（）

A、∠C＝∠AED B、∠B＝∠D C、 $\frac{A B}{A D} = \frac{B C}{D E}$ D、 $\frac{A B}{A D} = \frac{A C}{A E}$

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6. 已知二次函数 $y = a x^{2} + x + a (a - 2)$ 的图象经过原点，则a的值为（）

A、0或2 B、0 C、2 D、无法确定

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7. 由二次函数 $y = - 3 (x + 4)^{2} - 2$ 可知（）

A、其图象的开口向上 B、其顶点坐标为 $(4 ， 2)$ C、其图象的对称轴为直线 $x = - 4$ D、当 $x > 3$ 时，y随x的增大而增大

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8. 如图，已知D、E分别为 $A B$ 、 $A C$ 上的两点，且DE $∥$ BC， $B D = 2 A D ， B C = 24$ ，则 $D E$ 的长为（）

A、6 B、16 C、8 D、12

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二、填空题

9. 若 $\sqrt{x - 1}$ 在实数范围内有意义，则x的取值范围是．

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10. 若 $\frac{x + y}{x} = \frac{3}{2}$ ，则 $\frac{y}{2 x} =$ ．

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11. 如图，四边形 $A B C D$ 与四边形 $E F G H$ 位似，其位似中心为点O，且 $\frac{O E}{E A} = \frac{5}{4}$ ，则 $\frac{F G}{B C} =$ ．

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12. 如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为660平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为．

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13. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加m.

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14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形 $O A B C$ 的顶点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的负半轴上，抛物线 $y = a {(x + 3)}^{2} + c (a > 0)$ 的顶点为E，且经过点A、B，若△ $A B E$ 为等腰直角三角形，则a的值是．

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三、解答题

15. 计算：

(1)、 $\sqrt{12} - \sqrt{6} \div \sqrt{2} + (1 - \sqrt{3})^{2}$

(2)、 $\sqrt{2} s i n 45 ° - 2 c o s 30 ° + \sqrt{{(1 - t a n 60 °)}^{2}}$

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16. 如图，小明为了测量学校旗杆 $C D$ 的高度，在地面离旗杆底部C处22米的A处放置高度为1.8米的测角仪 $A B$ ，测得旗杆顶端D的仰角为 $32 °$ ．求旗杆的高度 $C D$ ．（结果精确到0.1米）（参考数据： $s i n 32 ° = 0.53 ， c o s 32 ° = 0.85 ， t a n 32 ° = 0.62$ ）

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17. 现有A、B两个不透明袋子，分别装有3个除颜色外完全相同的小球．其中，A袋装有2个白球，1个红球；B袋装有2个红球，1个白球．小华和小林商定了一个游戏规则：从摇匀后的A，B两袋中随机摸出一个小球，摸出的这两个小球，若颜色相同，则小华获胜；若颜色不同，则小林获胜．请用列表法或画出树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平，如果不公平，谁获胜的机会大．

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18. 2020年，受新冠肺炎疫情影响．口罩紧缺，某网店购进了一批口罩，二月份销售了256袋，三、四月该口罩十份畅销，销售量持续走高，四月份的销售量达到400袋．

(1)、求三、四这两个月销售量的月平均增长率；

(2)、如果继续按照相同的增长率增长，那么五月份的销售量会达到多少袋口罩？

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19. 图①、图②、图③均是 $5 \times 4$ 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D均在格点上在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法．

(1)、如图①， $\frac{B E}{C E} =$ ．

(2)、如图②，在 $B C$ 上找一点F，使 $B F = 2$ ．

(3)、如图③，在 $A C$ 上找一点M，连结 $B M$ 、 $D M$ ，使 $△ A B M ∽ △ C D M$ ．

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20. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， C D ⊥ A B$ 于点D．

(1)、求证： $A C^{2} = A B \cdot A D$ ；

(2)、如果 $B D = 5 ， A C = 6$ ，求 $C D$ 的长．

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21. 已知关于x的一元二次方程x²﹣mx﹣2＝0…①

(1)、若x＝﹣1是方程①的一个根，求m的值和方程①的另一根；

(2)、对于任意实数m ，判断方程①的根的情况，并说明理由．

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22. （教材呈现）下图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．
例2 如图：在 $△ A B C$ 中，D、E分别是边 $B C$ 、 $A B$ 的中点， $A D$ 、 $C E$ 相交于点G．求证： $\frac{G E}{C E} = \frac{G D}{A D} = \frac{1}{3}$ ．
证明：连接 $E D$ ．

(1)、请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．

(2)、（结论应用）如图②，在 $△ A B C$ 中，D、F分别是边 $B C$ 、 $A B$ 的中点， $A D$ 、 $C F$ 相交于点G，GE $∥$ AC交 $B C$ 于点E，GH $∥$ AB交 $B C$ 于点H，则 $△ E G H$ 与 $△ A B C$ 的面积的比值为．

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23. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 4$ ， $B C = 3$ ．动点P从点A出发，沿 $A B$ 以每秒5个单位长度的速度向终点B运动．当点P不与点A重合时，过点P作 $P D ⊥ A C$ 于点D、以 $A P$ ， $A D$ 为边作 $▱ A P E D$ ．设点P的运动时间为t秒．

(1)、线段 $A D$ 的长为．（用含t的代数式表示）．

(2)、当点E落在 $B C$ 边上时，求t的值．

(3)、连结 $B E$ ，当 $t a n ∠ C B E = \frac{1}{4}$ 时，求t的值．

(4)、若线段 $P E$ 的中点为Q，当点Q落在 $△ A B C$ 一边垂直平分线上时，直接写出t的值．

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24. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为 $(m ， - 2 m + 3)$ ，过点A作y轴的平行线交二次函数 $y = x^{2}$ 的图象于点B．

(1)、点B的纵坐标为（用含m的代数式表示）；

(2)、当点A落在二次函数 $y = x^{2}$ 的图象上时，求m的值；

(3)、当 $m < 0$ 时，若 $A B = 2$ ．求m的值；

(4)、当线段 $A B$ 的长度随m的增大而增大时，直接写出m的取值范围．

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