吉林省四平市铁西区2021-2022学年九年级上学期期末考试数学试题

试卷更新日期：2022-01-10 类型：期末考试

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一、单选题

1. 计算 $\sqrt{3} t a n 60 °$ 的值等于（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、1 C、3 D、 $\sqrt{3}$

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2. 下列事件为必然事件的是（）

A、购买二张彩票，一定中奖 B、打开电视，正在播放极限挑战 C、抛掷一枚硬币，正面向上 D、一个盒子中只装有7个红球，从中摸出一个球是红球

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3. 如图， $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 是位似图形，点 $O$ 为位似中心，已知 $B O ： O E = 2 ： 1$ ，则 $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 的面积比是（）

A、2：1 B、3：1 C、4：1 D、5：1

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4. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D为⊙O上的点．若∠D＝120°，则∠CAB的度数为（　　）

A、30° B、40° C、50° D、60°

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5. 如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上， $∠ A O B = ∠ B = 30 °$ ， $O A = 2$ ，将 $Δ A O B$ 绕点O逆时针旋转 $90 °$ ，点B的对应点 $B$ 的坐标是（）

A、 $(- 1 ， 2 + \sqrt{3})$ B、 $(- \sqrt{3} ， 3)$ C、 $(- \sqrt{3} ， 2 + \sqrt{3})$ D、 $(- 3 ， \sqrt{3})$

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6. 如图，A是反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上一点，过点A作 $A B ⊥ y$ 轴于点B，点C在x轴上，且 $S_{Δ A B C} = 2$ ，则k的值为（）

A、4 B、－4 C、－2 D、2

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二、填空题

7. 点P（﹣3，﹣4）关于原点对称的点的坐标是．

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8. 如图，已知AC∥EF∥BD．如果AE：EB＝2：3，CF＝6．那么CD的长等于．

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9. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 2 x - (m - 2) = 0$ 有两个相等的实数根，则 $m$ 的值为．

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10. 在一个不透明的袋子中装有白色和红色的球共20个，这些球除颜色外都相同．每次搅拌均匀后，从袋子中随机摸出一个球，记下球的颜色再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，则估计袋子中的红球的个数为．

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11. 如图，若反比例函数 $y_{1} = \frac{k}{x}$ 与一次函数 $y_{2} = a x + b$ 交于A、B两点，当 $y_{1} < y_{2}$ 时，则x的取值范围是．

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12. 如图，小红把梯子 $A B$ 斜靠在墙壁上，梯脚B距墙2米，小红上了两节梯子到D点，此时D点距墙1.8米， $B D$ 长0.6米，则梯子的长为米．

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是 $B C$ 边上的高， $c o s C = \frac{1}{2}$ ， $A B = 10$ ， $A C = 6$ ，则 $B C$ 的长为．

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14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣ $\frac{1}{2}$ （x﹣3）²+m与y= $\frac{2}{3}$ （x+2）²+n的一个交点为A．已知点A的横坐标为1，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B、C（点B在点A左侧，点C在点A右侧），则 $\frac{A B}{A C}$ 的值为．

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三、解答题

15. 解方程： $x^{2} + 10 x + 16 = 0$ ．

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16. 已知反比例函数y＝ $\frac{k - 4}{x}$ 图象位于第一、三象限.

(1)、求k的取值范围；

(2)、当反比例函数过点A（2，4），求k的值.

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17. 已知在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝ $\sqrt{7}$ ．

(1)、求BC；

(2)、求sinA．

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18. 医院准备从甲、乙、丙三位医生和A、B两名护士中选取一位医生和一名护士支援某地的防汛救灾工作．求：恰好选中医生甲和护士A的概率．

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19. 如图，在△ABC中，AB=10，AC＝8，D、E分别是AB、AC上的点，且AD＝4，∠BDE+∠C=180°．求AE的长．

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20. 钓鱼岛是我国固有领土，2021年4月26日，中华人民共和国自然资源部在其官网上公布《钓鱼岛及其附属岛屿地形地貌调查报告》，报告公布了钓鱼岛及其附属岛屿的高分辨率海岛地形数据．如图，点A是岛上最西端“西钓鱼”，点B是岛上最东端“东钓角”， $A B$ 长约3641米，点D是岛上的有小黄鱼岛，且 $A ， B ， D$ 三点共线．某日中国海监一艘执法船巡航到点C处时，恰好看到正北方的小黄鱼岛D，并测得 $∠ A C D = 70 °$ ， $∠ B C D = 45 °$ ．根据以上数据，请求出此时执法船距离小黄鱼岛D的距离 $C D$ （参考数据： $t a n 70 ° \approx 2.75$ ， $s i n 70 ° \approx 0.94$ ， $c o s 70 ° \approx 0.34$ ，结果精确到1米）．

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21. 如图，在平面直角坐标系中．四边形 $O A B C$ 为矩形，点 $C$ 、 $A$ 分别在 $x$ 轴和 $y$ 轴的正半轴上，点 $D$ 为 $A B$ 的中点已知实数 $k \neq 0$ ，一次函数 $y = - 3 x + k$ 的图像经过点 $C$ 、 $D$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图像经过点 $B$ ，求 $k$ 的值．

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22. 图①、图②、图③均是 $3 \times 3$ 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段 $A B$ 的端点和点P均在格点上．请按要求完成作图，不写作法，保留作图痕迹．

(1)、在图①中画一条以P为端点的射线 $P C$ ，使其平分线段 $A B$ ，点C在线段 $A B$ 上；

(2)、在图②中画一条以P为端点的射线 $P D$ ，使其分线段 $A B$ 为1：3两部分，点D在线段 $A B$ 上；

(3)、在图③中画一条以P为端点的射线 $P E$ ，使 $t a n ∠ P E B = 1$ ，点E在线段 $A B$ 上．

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23. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D ⊥ A B$ 于点E，连接 $A C ， B C ， B D ， O F ⊥ A C$ 于点F，且 $O F = 1$ ．

(1)、求 $B D$ 的长；

(2)、当 $∠ D = 30 °$ 时，求 $\overset{⌢}{A C}$ 的长和阴影部分的面积（结果保留根号和 $π$ ）．

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24. 已知 $Δ A B C$ 是等腰三角形， $A B = A C$ ，将 $Δ A B C$ 绕点B逆时针旋转得到 $Δ A B C$ ，点A、点C的对应点分别是点 $A$ 、点 $C$ ．

(1)、感知：如图①，当 $B C$ 落在 $A B$ 边上时， $∠ A A B$ 与 $∠ C C B$ 之间的数量关系是（不需要证明）；

(2)、等，请证明；如果不相等，请说明理由；

(3)、应用：如图③，若 $∠ B A C = 90 °$ ， $A A$ 、 $C C$ 交于点 $E$ ，则 $∠ A E C =$ 度．

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25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 2$ 与x轴分别交于点 $A (- 1 ， 0)$ 、 $B (3 ， 0)$ ，与y轴交于点C，连接 $B C$ ．点P是 $B C$ 上方抛物线上一点，过点P作y轴的平行线，交 $B C$ 于点N，分别过 $P ， N$ 两点作x轴的平行线，交抛物线的对称轴于点 $Q ， M$ ，设点P的横坐标为m．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、当点P在抛物线对称轴左侧时，求四边形 $P Q M N$ 的周长的最大值；

(3)、当四边形 $P Q M N$ 为正方形时，求m的值．

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26. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 10$ ， $A C = 8$ ， $B C = 6$ ，点D是 $A B$ 中点，连结 $C D$ ．动点P从点C出发沿折线 $C D - D B$ 方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，过点P作 $P E ⊥ A C$ ，垂足为点E，以 $P E$ ， $P D$ 为邻边作平行四边形 $P D F E$ ．设点P的运动时间为t（秒）．

(1)、 $C D =$ ．

(2)、当点P在 $B D$ 上时，求 $P E$ 的长度（用含t的代数式表示）

(3)、当平行四边形 $P D F E$ 与 $△ A C D$ 重合部分图形的面积为S时，求S与t之间的函数关系式．

(4)、当点F落在 $△ A B C$ 的某个内角平分线上时请直接写出t的值．

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