黑龙江省齐齐哈尔市克东县2021-2022学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-01-10 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列图形中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 用配方法解方程 $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ 时，配方后所得的方程为（）

A、 $（ x + 1 ）^{2} = 0$ B、 $（ x - 1 ）^{2} = 0$ C、 $（ x + 1 ）^{2} = 2$ D、 $（ x - 1 ）^{2} = 2$

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3. 袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球，下列事件是必然事件的是（　　）

A、摸出的三个球中至少有一个球是黑球 B、摸出的三个球中至少有一个球是白球 C、摸出的三个球中至少有两个球是黑球 D、摸出的三个球中至少有两个球是白球

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4. 如图，在△ABC中，AC=BC=8，∠BCA=60°，直线AD⊥BC于点D，E是AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C按逆时针方向旋转60°得到FC，连接DF，则在点E的运动过程中，DF的最小值是（）

A、1 B、1.5 C、2 D、4

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5. 如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD等于（　　）

A、116° B、32° C、58° D、64°

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6. 将抛物线y=4x²向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（）

A、y=4（x+1）²+3 B、y=4（x﹣1）²+3 C、y=4（x+1）²﹣3 D、y=4（x﹣1）²﹣3

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7. 在同一坐标系中一次函数 $y = a x + b$ 和二次函数 $y = a x^{2} + b x$ 的图象可能为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 抛物线y=x²-2x-4的顶点M关于坐标原点O的对称点为N，则点N的坐标为（）

A、(1，-5) B、(1，5) C、(-1，5) D、(-1，-5)

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9. 如图所示，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=8cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向D移动．当P，Q两点从出发开始几秒时，点P和点Q的距离是10cm．(若一点到达终点，另一点也随之停止运动)（）

A、2s或 $\frac{23}{5}$ s B、1s或 $\frac{22}{5}$ s C、 $\frac{22}{5}$ s D、2s或 $\frac{22}{5}$ s

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10. 如图抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的对称轴为直线 $x = - 2$ ，与x轴一个交点在 $(- 3 ， 0)$ 和 $(- 4 ， 0)$ 之间，其部分图象如图所示．则下列结论：① $4 a - b = 0$ ；② $c < 0$ ；③ $- 3 a + c > 0$ ；④ $4 a - 2 b > a t^{2} + b t$ （t为实数）；⑤点 $(- \frac{9}{2} ， y_{1})$ ， $(- \frac{5}{2} ， y_{2})$ ， $(- \frac{1}{2} ， y_{3})$ 是该抛物线上的点，则 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ ．正确的个数有（　　）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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二、填空题

11. 当 $x =$ 时，二次函数 $y = x^{2} + 2 x - 2$ 有最小值．

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12. 关于x的一元二次方程 $(a - 1) x^{2} + x + a^{2} - 1 = 0$ 有根为0，则a的值

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13. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝2．将△ABC绕点C逆时针旋转某个角度后得到△A′B′C，当点A的对应点A′落在AB边上时，阴影部分的面积为．

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14. 若关于x的一元二次方程kx²﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是．

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15. 将一个半径为6cm，母线长为15cm的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得的侧面展开图的圆心角是度 $.$

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16. 三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程 $x^{2} - 16 x + 60 = 0$ 的一个实数根，则该三角形的面积是．

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17. 在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“ $O A_{1} \to A_{1} A_{2} \to A_{2} A_{3} \to A_{3} A_{4} \to A_{4} A_{5} ⋯$ ”的路线运动，设第n秒运动到点 $P_{n}$ （n为正整数），则点 $P_{2021}$ 的坐标是．

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三、解答题

18. 解方程： $x (x - 7) = 8 (7 - x)$ ．

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19. 已知关于x的一元二次方程 $m x^{2} - (m + 2) x + \frac{m}{4} = 0$ 两个不相等的实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，若 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = 4 m$ ，求m的值．

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20. 如图，以△ABC的边AB为直径画⊙O，交AC于点D，半径OE $∥$ BD，连接BE，DE，BD，若BE交AC于点F，若∠DEB=∠DBC．

(1)、求证：BC是⊙O的切线；

(2)、若BF=BC=2，求AB的长．

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21. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0）

⑴画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A₁B₁C₁；

⑵画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△A₂B₂O；

⑶在x轴上存在一点P，满足点P到A₁与点A₂距离之和最小，请直接写出P点的坐标．

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22. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．

(1)、求每次下降的百分率．

(2)、若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元?

(3)、若使商场每天的盈利达到最大值，则应涨价多少元?此时每天的最大盈利是多少?

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23. 如图，已知抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与一直线相交于A(-1，0)，C(2，3)两点，与y轴交于点N，其顶点为D．

(1)、求抛物线及直线AC的函数关系式，并直接写出点D的坐标；

(2)、若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，当点P的坐标为多少时，△APC的面积有最大值．

(3)、点Q在平面内，试探究是否存在以A，C，D，Q为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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