2022年高考数学二轮复习选择填空题型 19 圆锥曲线的综合应用

试卷更新日期：2022-01-10 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 及圆 $x^{2} + y^{2} - 8 x + 7 = 0$ 都外切的圆的圆心在（）

A、一个圆上 B、一个椭圆上 C、双曲线的一支上 D、抛物线上

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2. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点分别为F、E，直线x＝m（﹣1＜m＜1）与椭圆相交于点A、B，则（）

A、当m＝0时，△FAB的面积为1 B、不存在m使△FAB为直角三角形 C、存在m使四边形FBEA面积最大 D、存在m，使△FAB的周长最大

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3. 已知点 $F_{1} (- 1 ， 0)$ ， $F_{2} (1 ， 0)$ ，动点 $P$ 到直线 $x = 2$ 的距离为 $d$ ， $\frac{| P F_{2} |}{d} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则（）

A、点 $P$ 的轨迹是圆 B、点 $P$ 的轨迹曲线的离心率等于 $\frac{1}{2}$ C、点 $P$ 的轨迹方程为 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ D、 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为定值 $4 \sqrt{2}$

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4. 已知点 $A$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的上顶点， $F_{1} ， F_{2}$ 分别是椭圆左右焦点，直线 $y = a x + b (a > 0)$ 将三角形 $A F_{1} F_{2}$ 分割为面积相等两部分，则 $b$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 - \frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{1}{2})$ C、 $(1 - \frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{1}{3}]$ D、 $[\frac{1}{3} ， \frac{1}{2})$

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5. 如图，某市有相交于点 $O$ 的一条东西走向的公路 $l$ 与一条南北走向的公路 $m$ ，有一商城 $A$ 的部分边界是椭圆的四分之一，这两条公路为椭圆的对称轴，椭圆的长半轴长为2，短半轴长为1（单位：千米）．根据市民建议，欲新建一条公路 $P Q$ ，点 $P$ ， $Q$ 分别在公路 $m$ ， $l$ 上，且要求 $P Q$ 与椭圆形商城 $A$ 相切，当公路 $P Q$ 长最短时， $O Q$ 的长为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{6}$

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6. 已知 $F_{1} (- 3 ， 0)$ ， $F_{2} (3 ， 0)$ ，若圆 $C ： x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 上存在点P ，使得 $| P F_{1} | + | P F_{2} | = 10$ ，则实数r的取值范围是（）

A、[3，5] B、（0，5] C、[4，5] D、[16，25]

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7. 已知圆 $M$ ： ${(x + 2)}^{2} + y^{2} = 36$ ，定点 $N (2 ， 0)$ ， $A$ 是圆 $M$ 上的一动点，线段 $A N$ 的垂直平分线交 $M A$ 于点 $P$ ，则 $P$ 点的轨迹 $C$ 的方程是（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

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8. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，离心率为 $e$ ，过 $F_{2}$ 的直线与椭圆交于 $M$ ， $N$ 两点，若 $△ F_{1} M N$ 是以 $M$ 为直角顶点的等腰直角三角形，则 $e =$ （）

A、 $2 - \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{6} - 2$ D、 $\sqrt{6} - \sqrt{3}$

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9. 已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{5} + y^{2} = 1$ $C_{1} ： \frac{x^{2}}{5} + y^{2} = 1$ 的左，右的焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，圆 $C_{2} ： {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 20$ .过点 $F_{1}$ 作直线 $l$ 交圆 $C_{2}$ 于点 $M$ ， $N$ ，若线段 $F_{2} M$ ， $F_{2} N$ 分别交椭圆于点 $P$ ， $Q$ ，当 $F_{2} P ⊥ F_{1} F_{2}$ ，时，四边形 $F_{1} Q F_{2} P$ 的面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{8 \sqrt{5}}{5}$

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二、多选题

10. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的两个顶点分别是 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，两个焦点分别是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ . $P$ 是双曲线上异于 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 的任意一点，则有（）

A、 $| | P A_{1} | - | P A_{2} | | = 4$ B、直线 $P A_{1}$ ， $P A_{2}$ 的斜率之积等于 $\frac{3}{4}$ C、使得 $△ P F_{1} F_{2}$ 为等腰三角形的点 $P$ 有8个 D、若 $\vec{P A_{1}} \cdot \vec{P A_{2}} = 3$ ，则 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 0$

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11. 已知方程 $\frac{x^{2}}{4 - t} + \frac{y^{2}}{t - 1} = 1$ 表示的曲线为 $C$ 则以下四个判断正确的为（）

A、当 $1 < t < 4$ 时，曲线 $C$ 表示椭圆 B、当 $t > 4$ 或 $t < 1$ 时，曲线 $C$ 表示双曲线 C、若曲线 $C$ 表示焦点在 $x$ 轴上的椭圆，则 $1 < t < \frac{5}{2}$ D、若曲线 $C$ 表示焦点在 $y$ 轴上的双曲线，则 $t > 4$

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12. 已知O为坐标原点，抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，A，B为抛物线上的两个动点，M为弦AB的中点，对A，B，M三点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为C，D，N，则下列说法正确的是（）

A、当AB过焦点F时， $△ M C D$ 为等腰三角形 B、若 $\vec{A F} = - 2 \vec{B F}$ ，则直线AB的斜率为 $\pm \sqrt{3}$ C、若 $∠ A F B = 120 °$ ，且 $| B F | = 2 | A F |$ ，则 $\frac{| M N |}{| A B |} = \frac{3 \sqrt{7}}{14}$ D、若 $△ A O F$ 外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的面积为 $\frac{9}{4} π$

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13. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 有公共焦点， $C$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，且经过点 $T (\frac{\sqrt{5}}{2} ， \frac{1}{2})$ ，则下列说法正确的是（）

A、双曲线 $C$ 的标准方程为 $x^{2} - y^{2} = 1$ B、若直线 $y = λ x$ 与双曲线 $C$ 无交点，则 $| λ | > 1$ C、设 $A (\sqrt{2} ， 1)$ ，过点 $B (0 ， 1)$ 的动直线与双曲线 $C$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点（异于点 $A$ ），若直线 $A P$ 与直线 $A Q$ 的斜率存在，且分别记为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，则 $k_{1} + k_{2} = \sqrt{2}$ D、若动直线 $l$ 与双曲线 $C$ 恰有1个公共点，且与双曲线 $C$ 的两条渐近线分别交于点 $M$ ， $N$ ，则 $△ O M N$ （ $O$ 为坐标原点）的面积为定值1

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14. 抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为F ，直线l过点F ，斜率 $k > 0$ ，且交抛物线C于A ， B(点A在x轴的下方)两点，抛物线的准线为m ， $A A_{1} ⊥ m$ 于 $A_{1}$ ， $B B_{1} ⊥ m$ 于 $B_{1}$ ，下列结论正确的是（）

A、若 $\vec{B F} = 3 \vec{F A}$ ，则 $k = \sqrt{3}$ B、 $\frac{1}{| F A |} + \frac{1}{| F B |} = 1$ C、若 $k = 1$ ，则 $| A B | = 12$ D、 $∠ A_{1} F B_{1} = 90 °$

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三、填空题

15. 直线 $y = 2 x - 1$ 过椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个顶点和焦点，则椭圆的离心率为.

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16. 过点 $M (- 1 ， 2)$ 作抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的两条切线，切点分别为 $A$ 、 $B$ 两点，则 $A B$ 的中点到抛物线准线的距离为．

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17. 已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ， $F_{1}$ 为左焦点， $A_{1}$ ， $A_{2}$ 为左、右顶点， $P$ 是椭圆 $C_{1}$ 上任意一点， $P F_{1}$ 的最大值为3，直线 $P A_{1}$ 和 $P A_{2}$ 满足 $k_{P A_{1}} k_{P A_{2}} = - \frac{3}{4}$ ，则椭圆 $C_{1}$ 的方程为，过 $P$ 作圆 $C_{2} ： x^{2} + {(y + 3 \sqrt{3})}^{2} = 3$ 的两条切线 $P M$ 、 $P N$ ，切点分别为 $M$ 、 $N$ 则 $\vec{C_{2} M} \cdot \vec{C_{2} N}$ 的最小值为．

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18. 设点F₁ ， F₂分别为双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1(a>0，b>0)的左、右焦点，点A，B分别在双曲线C的左、右支上，若 $\vec{F_{1} B}$ ≈6 $\vec{F_{1} A}$ ，( $\vec{A F_{2}}$ )²= $\vec{A B}$ · $\vec{A F_{2}}$ ，且| $\vec{A F_{2}}$ |>| $\vec{B F_{2}}$ |，则双曲线C的离心率为

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19. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，若 $O$ 为坐标原点， $△ O M N$ 的重心为点 $G (2 ， \frac{4}{3})$ ，则 $| M N | =$ ．

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20. 已知圆 $x^{2} + y^{2} = 12$ 与抛物线 $x^{2} = 4 y$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点， $F$ 为抛物线的焦点，若直线 $l$ 与抛物线相交于 $M$ ， $N$ 两点，且与圆相切，切点 $D$ 在劣弧 $\overset{⌢}{A B}$ 上，当直线 $l$ 的斜率为0时， $| M F | + | N F | =$ ；当直线 $l$ 的斜率不确定时， $| M F | + | N F |$ 的取值范围是．

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21. 已知AB ， CD是过抛物线 $y^{2} = 8 x$ 焦点F且互相垂直的两弦，则 $\frac{1}{| A F | \cdot | B F |} + \frac{1}{| C F | \cdot | D F |}$ 的值为.

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22. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，焦点 $F_{1} (- c ， 0)$ ， $F_{2} (c ， 0)$ $(c > 0)$ ，若过 $F_{1}$ 的直线和圆 ${(x - \frac{1}{2} c)}^{2} + y^{2} = c^{2}$ 相切，与椭圆在第一象限交于点P ，且 $P F_{2} ⊥ x$ 轴，则该直线的斜率是，椭圆的离心率是.

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2022年高考数学二轮复习 选择填空题型 19 圆锥曲线的综合应用

一、单选题

二、多选题

三、填空题

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