2022年高考数学二轮复习选择填空题型 18 双曲线与抛物线

试卷更新日期：2022-01-10 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ ，过点 $A (\sqrt{2} ， 0)$ 的直线l与双曲线有且仅有一个交点 $B (2 \sqrt{2} ， 1)$ （非切点），则该双曲线的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{6} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{2} - 3 y^{2} = 1$ D、 $x^{2} - y^{2} = 7$

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2. 已知双曲线 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ( $a > 0$ ， $b > 0$ )的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，若双曲线 $C_{1}$ 与曲线 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} - b^{2} = 0$ 在第二象限的交点为 $M$ ，且 $\frac{| \vec{M F_{1}} |}{| \vec{M F_{2}} |} = \frac{1}{3}$ ，则双曲线 $C_{1}$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、3 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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3. 中国景德镇陶瓷世界闻名，其中青花瓷最受大家的喜爱，如图1的青花瓷花瓶的颈部（图2）外形上下对称，可近似看作是中心为原点，焦点在 $x$ 轴上离心率为 $\frac{\sqrt{34}}{3}$ 的双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面，则双曲线的渐近线方程可以为（）

A、 $5 x \pm 3 y = 0$ B、 $x \pm 15 y = 0$ C、 $\sqrt{5} x \pm 3 y = 0$ D、 $3 x \pm \sqrt{5} y = 0$

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4. 已知抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ 的焦点与椭圆 $\frac{y^{2}}{m} + \frac{x^{2}}{2} = 1$ 的一个焦点重合，则 $m =$ （）

A、1 B、3 C、5 D、7

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5. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 交双曲线的右支于 $A ， B$ 两点．点 $M$ 满足 $\vec{A B} + \vec{A F_{1}} = 2 \vec{A M}$ ，且 $\vec{A M} \cdot \vec{B F_{1}} = 0$ ．若 $c o s ∠ A F_{1} B = \frac{1}{4}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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6. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{25} = 1$ 的一个焦点为F，双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的左、右焦点，分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点P是双曲线左支上一点，则 $△ P F F_{2}$ 周长的最小值为（）

A、5 B、 $5 + \sqrt{3}$ C、10 D、14

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7. 双曲线 $\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{24} = 1$ 的两个焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，双曲线上一点 $P$ 到 $F_{1}$ 的距离为11，则点 $P$ 到 $F_{2}$ 的距离为（）

A、1 B、21 C、1或21 D、2或21

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8. 已知定点 $F_{1} (- 2 ， 0)$ ， $F_{2} (2 ， 0)$ ， $N$ 是圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 1$ 上任意一点，点 $F_{1}$ 关于点 $N$ 的对称点为 $M$ ，线段 $F_{1} M$ 的中垂线与直线 $F_{2} M$ 相交于点 $P$ ，则点 $P$ 的轨迹是（）

A、直线 B、圆 C、椭圆 D、双曲线

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9. 已知直线 $l$ 经过双曲线 $\frac{x^{2}}{12} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的右焦点 $F$ ，且与双曲线过第一、三象限的渐近线垂直，则直线 $l$ 的方程是（）

A、 $y = - \sqrt{3} x + 4 \sqrt{3}$ B、 $y = - \sqrt{3} x - 4 \sqrt{3}$ C、 $y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x + \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ D、 $y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x - 4 \sqrt{3}$

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10. 抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点 $M (1 ， y_{0})$ 到焦点F的距离为3，则p值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、多选题

11. 如图，已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左､右焦点分別为 $F_{1} (- c ， 0) ， F_{2} (c ， 0)$ ，左､右顶点分别为 $A ， B$ ，点 $M$ 的坐标为 $(0 ， b)$ ， $Q$ 是双曲线的右支上的动点，则下列说法正确的是（）

A、若 $△ M A B$ 为等边三角形，则双曲线的离心率为 $e = \sqrt{3}$ B、若双曲线的离心率为 $e = \sqrt{2}$ ，则直线 $Q A$ 和直线 $Q B$ 的斜率之积为 $1$ C、若 $A ， B$ 两点三等分线段 $F_{1} F_{2}$ ，则双曲线的两条浙近线互相垂直 D、 $| F_{1} Q | + | M Q |$ 的最小值为 $\sqrt{a^{2} + 2 b^{2}} + 2 a$

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12. 已知O为坐标原点，抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，A，B为抛物线上的两个动点，M为弦AB的中点，对A，B，M三点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为C，D，N，则下列说法正确的是（）

A、当AB过焦点F时， $△ M C D$ 为等腰三角形 B、若 $\vec{A F} = - 2 \vec{B F}$ ，则直线AB的斜率为 $\pm \sqrt{3}$ C、若 $∠ A F B = 120 °$ ，且 $| B F | = 2 | A F |$ ，则 $\frac{| M N |}{| A B |} = \frac{3 \sqrt{7}}{14}$ D、若 $△ A O F$ 外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的面积为 $\frac{9}{4} π$

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13. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线 $l_{1}$ 从点 $P (\frac{41}{4} ， 4)$ 射入，经过C上的点A反射后，再经C上另一点B反射后，沿直线 $l_{2}$ 射出，经过点Q．下列说法正确的是（）

A、若 $p = 4$ ，则 $| A B | = 8$ B、若 $p = 2$ ，则 $| A B | = 8$ C、若 $p = 2$ ，则 $P B$ 平分 $∠ A B Q$ D、若 $p = 4$ ，延长 $A O$ 交直线 $x = - 2$ 于点M，则M，B，Q三点共线

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14. 已知方程 $\frac{x^{2}}{4 - t}$ ＋ $\frac{y^{2}}{t - 1}$ ＝1表示的曲线为C.则以下四个判断正确的为（）

A、当1＜t＜4时，曲线C表示椭圆 B、当t＞4或t＜1时，曲线C表示双曲线 C、若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜t＜ $\frac{5}{2}$ D、若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t＞4

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15. 抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为F ，直线l过点F ，斜率 $k > 0$ ，且交抛物线C于A ， B(点A在x轴的下方)两点，抛物线的准线为m ， $A A_{1} ⊥ m$ 于 $A_{1}$ ， $B B_{1} ⊥ m$ 于 $B_{1}$ ，下列结论正确的是（）

A、若 $\vec{B F} = 3 \vec{F A}$ ，则 $k = \sqrt{3}$ B、 $\frac{1}{| F A |} + \frac{1}{| F B |} = 1$ C、若 $k = 1$ ，则 $| A B | = 12$ D、 $∠ A_{1} F B_{1} = 90 °$

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16. 以下关于圆锥曲线的说法正确的是（）

A、设 $A$ ， $B$ 为两定点， $m > 0$ ，动点 $P$ 满足 $| | P A | - | P B | | = m$ ，则动点 $P$ 的轨迹是双曲线 B、方程 $x^{2} - 5 x + 2 \sqrt{3} = 0$ 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 C、双曲线 $\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{35} + y^{2} = 1$ 有相同的焦点 D、若双曲线 $C$ ： $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ､ $F_{2}$ ， $P$ 为双曲线 $C$ 上一点，若 $| P F_{1} | = \frac{5}{2}$ ，则 $| P F_{2} | = \frac{1}{2}$ 或 $| P F_{2} | = \frac{9}{2}$

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17. 已知抛物线 $y = 2 x^{2}$ 的焦点为 $F$ ， $M (x_{1} ， y_{1})$ ， $N (x_{2} ， y_{2})$ 是抛物线上两点，则下列结论正确的是（）

A、点 $F$ 的坐标为 $(\frac{1}{8} ， 0)$ B、若直线 $M N$ 过点 $F$ ，则 $x_{1} x_{2} = - \frac{1}{16}$ C、若 $\vec{M F} = λ \vec{N F}$ ，则 $| M N |$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$ D、若 $| M F | + | N F | = \frac{3}{2}$ ，则线段 $M N$ 的中点 $P$ 到 $x$ 轴的距离为 $\frac{5}{8}$

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三、填空题

18. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{9} = 1 (a > 0)$ 的左､右焦点，点 $A (8 ， 4)$ ，且 $\vec{A F_{1}} \cdot \vec{A F_{2}} = 55$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为，若点 $M$ 是双曲线 $C$ 右支上一动点，则 $| M F_{1} | - | M A |$ 的最大值为.

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19. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1 (a > 1)$ 的两条渐近线的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，则双曲线的实轴长为．

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20. 已知 $F$ 为抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点，点 $A$ 在抛物线上，若点 $P$ 是抛物线准线上的动点， $O$ 为坐标原点，且 $| A F | = 5$ ，则 $| P A | + | P O |$ 的最小值为．

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21. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{6} = 1$ 的左､右焦点，过 $F_{2}$ 的直线与双曲线的右支交于 $A ， B$ 两点（其中点 $A$ 位于第一象限），圆 $C$ 与 $△ A F_{1} F_{2}$ 内切，半径为 $r$ ，则 $r$ 的取值范围是．

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22. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， A是C的左顶点，点P在过点 $F_{1}$ 且斜率为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ 的直线上， $△ P F_{2} A$ 为等腰三角形， $∠ P F_{2} F_{1} = 120 °$ ，则双曲线的离心率为.

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23. 设抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 且倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 的直线 $l$ 与抛物线相交于 $A$ ， $B$ 两点，若以 $A B$ 为直径的圆过点 $(- \frac{p}{2} ， 2)$ ，则该抛物线的方程为．

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24. 已知F为抛物线C： $y^{2} = 5 x$ 的焦点，M是C上的动点，点 $A (3 ， 1)$ ，则当点M的坐标为时， $| M A | + | M F |$ 的最小值为．

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2022年高考数学二轮复习 选择填空题型 18 双曲线与抛物线

一、单选题

二、多选题

三、填空题

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