2022年高考数学二轮复习选择填空题型 15 空间向量与空间几何

试卷更新日期：2022-01-10 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 在正三棱锥 $A - B C D$ 中，AB，AC，AD两两垂直，E，F分别是AB，AD的中点，过E，F的平面与棱AC交于点G，且 $V_{A - E F G} ： V_{E F G - B D C} = 1 ： 5$ （V表示体积），则AC与平面EFG所成角的正切值等于（）

A、 $\frac{\sqrt{21}}{4}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{3 \sqrt{2}}{8}$

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2. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A D = A A_{1} = 12$ ， $A B = 25$ ，点 $M$ 在 $A B$ 上，点 $N$ 在 $C_{1} D_{1}$ 上， $A M = D_{1} N = 9$ ，则直线 $C M$ 与 $D N$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{12}{25}$ B、 $\frac{24}{25}$ C、 $\frac{7}{24}$ D、 $\frac{7}{25}$

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3. 已知直线 $l$ ： $\sqrt{3} x - y + 3 = 0$ ，下列结论正确的是（）

A、直线 $l$ 的倾斜角为 $\frac{π}{6}$ B、直线 $l$ 的法向量为 $(\sqrt{3} ， 1)$ C、直线 $l$ 的方向向量为 $(1 ， \sqrt{3})$ D、直线 $l$ 的斜率为 $- \sqrt{3}$

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4. 已知 $\vec{a} = (1 ， 1 ， - 3)$ ， $\vec{b} = (x ， y ， 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x + y =$ （）

A、9 B、6 C、5 D、3

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5. 已知空间向量 $a = (2 ， - 2 ， 1)$ ， $b = (3 ， 0 ， 4)$ ，则向量 $b$ 在向量 $a$ 上的投影向量是（）

A、 $\frac{10}{9} (3 ， 0 ， 4)$ B、 $\frac{2}{5} (3 ， 0 ， 4)$ C、 $\frac{10}{9} (2 ， - 2 ， 1)$ D、 $\frac{2}{5} (2 ， - 2 ， 1)$

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6. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P C ⊥$ 平面 $A B C ， P A = P B = 5 ， A C = B C = 3 ， A B = 2 \sqrt{5}$ ，则二面角 $P - A B - C$ 的正切值为（）

A、2 B、 $\frac{3}{2}$ C、3 D、 $\frac{4}{3}$

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7. 如图，四边形 $A B C D$ 为矩形， $A D = 2 A B$ ， $E$ 是 $B C$ 的中点，将 $△ B A E$ 沿 $A E$ 翻折至 $△ P A E$ 的位置（点 $P \notin$ 平面 $A E C D$ ），设线段 $P D$ 的中点为 $F$ ，则在翻折过程中，下列论断不正确的是（）

A、 $C F //$ 平面 $A E P$ B、异面直线 $C F$ 与 $P E$ 所成角的大小恒定不变 C、 $A E ⊥ D P$ D、当平面 $A P E ⊥$ 平面 $A E C D$ 时， $A D$ 与平面 $P D E$ 所成角为 $30^{\circ}$

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8. 若向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2$ ， $(\vec{a} + 2 \vec{b}) \cdot \vec{a} = 6$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影为（）

A、1 B、-1 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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9. 已知底面 $A B C D$ 为正方形的四棱锥 $P - A B C D$ ， $P$ 点的射影在正方形 $A B C D$ 内，且 $P$ 到 $B C$ 的距离等于 $P D$ 的长，记二面角 $P - A B - C$ 的平面角为 $α$ ，二面角 $P - C D - A$ 的平面角为 $β$ ，二面角 $P - A D - C$ 平面角为 $γ$ ，则下列结论可能成立的是（）

A、 $α = β = γ$ B、 $α = γ < β$ C、 $α = β < γ$ D、 $α > β = γ$

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10. 如图在底圆半径和高均为 $2 \sqrt{2}$ 的圆锥中， $A B$ 、 $C D$ 是过底圆圆 $O$ 的两条互相垂直的直径， $E$ 是母线 $P B$ 的中点，已知过 $C D$ 与 $E$ 的平面与圆锥侧面的交线是以 $E$ 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点 $P$ 的距离等于（）．

A、 $\sqrt{5}$ B、1 C、 $\frac{\sqrt{10}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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二、多选题

11. 八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1船八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形 $A B C D E F G H$ ，其中 $| O A | = 1$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $\vec{O A} \cdot \vec{O D} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\vec{O B} + \vec{O H} = - \sqrt{2} \vec{O E}$ C、 $\vec{A H} \cdot \vec{O H} = \vec{B C} \cdot \vec{B O}$ D、 $\vec{A H}$ 在 $\vec{A B}$ 向量上的投影为 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$

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12. 已知四面体 $A B C D$ 的所有棱长均为2，则下列结论正确的是（）

A、异面直线 $A C$ 与 $B D$ 所成角为 $60 °$ B、点A到平面 $B C D$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ C、 $A B ⊥ C D$ D、四面体 $A B C D$ 的外接球体积为 $\sqrt{6} π$

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13. 下列说法中错误的是（）

A、已知 $\vec{a} = (1 ， - 3)$ ， $\vec{b} = (1 ， - 3)$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 可以作为平面内所有向量的一组基底 B、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影为 $| \vec{a} |$ C、若两非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ D、平面直角坐标系中， $A (1 ， 1)$ ， $B (4 ， 2)$ ， $C (5 ， 0)$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形

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14. 已知 $\vec{a} = (3 ， - 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， - 2)$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影为 $\sqrt{5}$ B、与 $\vec{a}$ 同向的单位向量是 $(\frac{3 \sqrt{10}}{10} ， - \frac{\sqrt{10}}{10})$ C、 $〈 \vec{a} ， \vec{b} 〉 = \frac{π}{4}$ D、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 平行

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15. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ 为棱 $D D_{1}$ 的中点，点 $P$ 是线段 $C_{1} D$ 上的动点， $A A_{1} = 2$ ，则下列选项正确的是（）

A、直线 $A P$ 与 $B_{1} E$ 是异面直线 B、点 $P$ 到平面 $A E B_{1}$ 的距离是一个常数 C、过点 $C$ 作平面 $A E B_{1}$ 的垂线，与平面 $A B_{1} C_{1} D$ 交于点 $Q$ ，若 $\vec{C_{1} D} = 3 \vec{C_{1} P}$ ，则 $Q \in A P$ D、若面 $C D D_{1} C_{1}$ 内有一点 $Q$ ，它到 $C D$ 距离与到 $C B_{1}$ 的距离相等，则 $Q$ 轨迹为一条直线

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16. 在如图所示的几何体中，底面 $A B C D$ 是边长为4的正方形， $A A_{1} ， B G ， C C_{1} ， D D_{1}$ 均与底面 $A B C D$ 垂直，且 $A A_{1} = C C_{1} = D D_{1} = 2 B G = 4 \sqrt{3}$ ，点 $E ， F$ 分别为线段 $B C ， C C_{1}$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A、直线 $A_{1} G$ 与 $△ A E F$ 所在平面相交 B、三棱锥 $C_{1} - B C D$ 的外接球的表面积为 $80 π$ C、点C到平面 $A E F$ 的距离为 $\frac{4 \sqrt{57}}{19}$ D、二面角 $C_{1} - A D - B$ 中， $M \in$ 平面 $C_{1} A D ， N \in$ 平面 $B A D ， P ， Q$ 为棱 $A D$ 上不同两点， $M P ⊥ A D ， N Q ⊥ A D$ ，若 $M P = P Q = 2 ， N Q = 1$ ，则 $M N = \sqrt{3}$

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17. 已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = B C = B B_{1}$ ， $O$ 为 $A_{1} C$ 的中点.点 $P$ 满足 $\vec{B P} = λ \vec{B C_{1}}$ ，其中 $λ \in [0 ， 1]$ ，则（）

A、对 $\forall λ \in [0 ， 1]$ 时，都有 $A_{1} P ⊥ O B_{1}$ B、当 $λ = \frac{1}{3}$ 时，直线 $A_{1} P$ 与 $A B$ 所成的角是30° C、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，直线 $A_{1} P$ 与平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 所成的角的正切值 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，直线 $A_{1} P$ 与 $O B_{1}$ 相交于一点 $Q$ ，则 $\frac{P Q}{Q A_{1}} = \frac{1}{2}$

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三、填空题

18. 如图，已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 各棱长均相等， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A C = \frac{π}{3}$ ，则异面直线 $A A_{1}$ 与 $B C$ 所成角的大小是，二面角 $A - B C - B_{1}$ 的平面角的正弦值是．

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19. 如图，已知平面四边形 $A B C D$ 中，△ $A B D$ 是边长为2的正三角形， $B C ⊥ C D$ ，以 $B D$ 为棱折成直二面角 $A - B D - C$ ，若折叠后 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四点在同一球面上，则该球的体积为.

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20. 如图，在边长为2的正方形 $S G_{1} G_{2} G_{3}$ 中， $E$ 、 $F$ 分别是 $G_{1} G_{2}$ 、 $G_{2} G_{3}$ 的中点.若沿 $S E$ 、 $S F$ 及 $E F$ 把这个正方形折成一个四面体，使 $G_{1}$ 、 $G_{2}$ 、 $G_{3}$ 三点重合，重合后的点记为 $G$ ，则：

(1)、三棱锥 $S - E F G$ 外接球的表面积为；

(2)、点 $G$ 到平面 $S E F$ 的距离为.

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21. 已知四棱锥 $P - A B C D$ 的顶点均在球 $O$ 的球面上，底面 $A B C D$ 是矩形， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $A D = 2$ ， $∠ A P B = 60 °$ ，二面角 $P - A B - C$ 大小为120°，当 $△ P A B$ 面积最大时，球 $O$ 的表面积为．

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22. 如图，正方形 $A B C D$ 中， $A B = 2 \sqrt{2}$ ，点 $E$ 为 $A D$ 中点，现将 $Δ D E C$ 沿 $E C$ 折起形成四棱锥 $P - A B C E$ ，则下列命题中为真命题的是.

①设点 $O$ 为 $A C$ 中点，若 $M C = \sqrt{2} P M$ ，则在折起过程中， $P 、 M 、 B 、 O$ 四点可能共面；

②设 $O D$ 与 $E C$ 交于点 $F$ ，则在折起过程中 $A C$ 与 $P F$ 可能垂直；

③四棱锥 $P - A B C E$ 体积的最大值为 $\frac{4 \sqrt{10}}{5}$ .

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2022年高考数学二轮复习 选择填空题型 15 空间向量与空间几何

一、单选题

二、多选题

三、填空题

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