2022年高考数学二轮复习选择填空题型 14 空间几何体的表面积、体积

试卷更新日期：2022-01-10 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 圆锥的轴截面为面积为2的直角三角形，则圆锥的侧面积为（）

A、 $4 π$ B、 $4 \sqrt{2} π$ C、 $2 π$ D、 $2 \sqrt{2} π$

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2. 已知四棱锥 $P - A B C D$ 的五个顶点都在球 $О$ 的球面上， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是高为 $\frac{1}{2}$ 的等腰梯形， $A D / / B C$ ， $A D = P A = 1$ ， $B C = 2$ ，则球 $О$ 的表面积为（）

A、 $10 π$ B、 $4 π$ C、 $5 π$ D、 $6 π$

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3. 我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一个原理“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件，若该圆锥的侧面展开图是半径为2的一个半圆，则该几何体的体积为（）

A、 $\sqrt{3} π$ B、 $\frac{\sqrt{3} π}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3} π}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3} π}{6}$

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4. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = B C = 4$ ， $∠ B A C = 30^{\circ}$ ， $D$ 为 $A C$ 的中点，将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 折起到 $△ P B D$ 的位置，使得二面角 $P - B D - C$ 为 $60^{\circ}$ ，则三棱锥 $P - B D C$ 的体积为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、4 C、 $\sqrt{3}$ D、2

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5. 已知 $A ， B$ 是球 $O$ 的球面上两点， $∠ A O B = \frac{π}{6}$ ， $P$ 为该球面上的动点，若三棱锥 $O - P A B$ 的体积的最大值为 $\frac{2}{3}$ ，则球 $O$ 的表面积为（）

A、12π B、16π C、24π D、36π

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6. 中国古代数学专著《九章算术》中对两类空间几何体有这样的记载：①“堑堵”，即底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；②“阳马”，即底面为矩形，且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一“堑堵” $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ，如图所示， $A C ⊥ B C$ ，则其中“阳马” $B - A_{1} A C C_{1}$ 与“堑堵” $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积之比为（）

A、1：2 B、2：3 C、3：4 D、4：5

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7. 正四面体内放入一个可以自动充气的球，当球和四面体的面相切时，球的半径与该正四面体的高的比值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{5}$

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8. 已知四棱锥 $P - A B C D$ 的侧棱均相等，其各个顶点都在球 $O$ 的球面上， $A B = B C$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $A D = 2 \sqrt{3}$ ， $C D = 2$ ，三棱锥 $P - A B C$ 的体积为 $\frac{16}{3}$ ，则球 $O$ 的表面积为（）

A、25π B、 $\frac{125π}{6}$ C、32π D、 $\frac{64 \sqrt{2} π}{3}$

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9. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面是边长为4的正方形，且 $P A = 2 ， P B = P D = 2 \sqrt{5}$ ，则四棱锥外接球的表面积为（）

A、4π B、8π C、36π D、144π

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二、多选题

10. 已知四面体 $A B C D$ 的所有棱长均为2，则下列结论正确的是（）

A、异面直线 $A C$ 与 $B D$ 所成角为 $60 °$ B、点A到平面 $B C D$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ C、 $A B ⊥ C D$ D、四面体 $A B C D$ 的外接球体积为 $\sqrt{6} π$

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11. 已知点 $P$ ， $C$ ， $D$ 是圆锥表面上的点，该圆锥的侧而展开图为以点 $P$ 为圆心， $4$ 为半径的半圆，点 $C$ 是 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点，点 $D$ 是 $\overset{⌢}{A C}$ 的中点（如图），则下列说法正确的是（）

A、圆锥的体积为 $\frac{8 \sqrt{3}}{3} π$ B、直线 $P D$ 与圆锥底面夹角为 $\frac{π}{6}$ C、圆锥的内切球半径为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、以圆锥底面圆心为球心､半径为2的球被平面 $P C D$ 所截，则截面面积为 $\frac{16}{7} π$

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12. 三棱锥 $P - A B C$ 中，已知 $P A ⊥$ 平面 $A B C ， A C ⊥ B C$ ，且 $P A = A C = B C = 1$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $A C ⊥ P B$ B、平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C$ C、二面角 $C - P B - A$ 的大小为 $60^{\circ}$ D、三棱锥的外接球表面积为 $3 π$

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13. 如图，正方形 $A B C D$ 与正方形 $D E F C$ 边长均为1，平面 $A B C D$ 与平面 $D E F C$ 互相垂直，P是 $A E$ 上的一个动点，则（）

A、 $C P$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、当P在直线 $A E$ 上运动时，三棱锥 $D - B P F$ 的体积不变 C、 $P D + P F$ 的最小值为 $\sqrt{2 - \sqrt{2}}$ D、三棱锥 $A - D C E$ 的外接球表面积为 $3 π$

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14. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = B C = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ， $D$ ､ $D_{1}$ 分别是 $A C$ ､ $A_{1} C_{1}$ 的中点， $P$ 是 $A_{1} D$ 上的动点，则下列结论中正确的是（）

A、直线 $A P$ ， $B_{1} D_{1}$ 所成的角的大小随点 $P$ 的位置变化而变化 B、三棱锥 $P - B_{1} C D_{1}$ 的体积是定值 C、直线 $B_{1} C$ 与平面 $C C_{1} D$ 所成的角的余弦值是 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ D、三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的外接球的表面积是 $24 π$

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15. 如图，等腰直角三角形 $A B E$ 的斜边 $A B$ 为正四面体 $A - B C D$ 的侧棱， $A B = 2$ ，直角边 $A E$ 绕斜边 $A B$ 旋转一周，在旋转的过程中，下列说法正确的是（）

A、三棱锥 $E - B C D$ 体积的最大值为 $\frac{\sqrt{2} + 1}{3}$ B、三棱锥 $E - B C D$ 体积的最小值为 $\frac{\sqrt{3} - 1}{3}$ C、存在某个位置，使得 $A E ⊥ B D$ D、设二面角 $D - A B - E$ 的平面角为 $θ$ ，且 $0 < θ < π$ ，则 $θ < ∠ D A E$

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三、填空题

16. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 为梯形， $A D = 2 B C$ ， $A D / / B C$ ， $E$ 为 $P D$ 中点，平面 $E A B$ 截四棱锥 $P - A B C D$ 的上下两部分的体积之比为.

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17. 已知点A，B，C为球O的球面上的三点，且∠BAC＝60°，|BC|＝3，若球O的表面积为 $48 π$ ，则点O到平面ABC的距离为．

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18. 在正三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B = \sqrt{3}$ ， $P B = \sqrt{5}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 外接球的表面积为.

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19. 一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是 $\frac{32}{3} π$ ，那么这个三棱柱的体积是.

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20. 已知三棱锥 $P - A B C$ 内接于表面积为 $36 π$ 的球中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C$ ， $P A = P B = \sqrt{3}$ ， $P B ⊥ B C$ ， $∠ A P B = 120 °$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 体积为.

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21. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且 $△ P A D$ 是边长为2的正三角形， $A B C D$ 是正方形，则四棱锥 $P - A B C D$ 外接球的表面积为

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22. 如图，圆锥的母线长为4，点 $M$ 为母线 $A B$ 的中点，从点 $M$ 处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到 $B$ 点，这条绳子的长度最短值为 $2 \sqrt{5}$ ，则此圆锥的表面积为

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2022年高考数学二轮复习 选择填空题型 14 空间几何体的表面积、体积

一、单选题

二、多选题

三、填空题

2022年高考数学二轮复习选择填空题型 14 空间几何体的表面积、体积