2022年高考数学二轮复习选择填空题型 13 空间点、直线、平面间的位置关系，空间角

试卷更新日期：2022-01-10 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 在正三棱锥 $A - B C D$ 中，AB，AC，AD两两垂直，E，F分别是AB，AD的中点，过E，F的平面与棱AC交于点G，且 $V_{A - E F G} ： V_{E F G - B D C} = 1 ： 5$ （V表示体积），则AC与平面EFG所成角的正切值等于（）

A、 $\frac{\sqrt{21}}{4}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{3 \sqrt{2}}{8}$

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2. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A D = A A_{1} = 12$ ， $A B = 25$ ，点 $M$ 在 $A B$ 上，点 $N$ 在 $C_{1} D_{1}$ 上， $A M = D_{1} N = 9$ ，则直线 $C M$ 与 $D N$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{12}{25}$ B、 $\frac{24}{25}$ C、 $\frac{7}{24}$ D、 $\frac{7}{25}$

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3. 已知向量 $\vec{m} ， \vec{n}$ 分别是平面 $α$ 和平面 $β$ 的法向量，若 $cos 〈 \vec{m} ， \vec{n} 〉 = - \frac{1}{2}$ ，则平面 $α$ 与 $β$ 所成的角为（）

A、30° B、60° C、60°或120° D、30°或150°

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4. 若平面 $α$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (1 ， 2 ， 2)$ ，点 $A (3 ， 0 ， 2)$ ， $B (5 ， 1 ， 3)$ ， $A \notin α$ ， $B \in α$ ， $A$ 到平面 $α$ 的距离为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ ， $F$ ， $G$ 分别是棱 $C C_{1}$ ， $C B$ ， $C D$ 的中点， $P$ 为线段 $A D_{1}$ 上的一个动点，平面 $α ∥$ 平面 $E F G$ ，则下列命题中错误的是（）

A、不存在点 $P$ ，使得 $C P ⊥$ 平面 $E F G$ B、三棱锥 $P - E F G$ 的体积为定值 C、平面 $α$ 截该正方体所得截面面积的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、平面 $α$ 截该正方体所得截面可能是三角形或六边形

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6. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 在线段 $B_{1} C$ 上运动，则下列结论中不正确的是（）

A、直线 $A D_{1} ⊥$ 直线 $A_{1} P$ B、直线 $B D_{1}$ 过 $△ A_{1} C_{1} D$ 的垂心 C、三棱锥 $P - A_{1} C_{1} D$ 的体积为定值 D、异面直线 $A P$ 与 $A_{1} D$ 所成角的取值范围为 $[\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$

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7. 如图所示，点 $A$ 、线 $m$ 、面 $α$ 之间的数学符号语言关系为（）

A、 $m \subset α$ ， $A \in m$ B、 $m \subset α$ ， $A \notin m$ C、 $m \in α$ ， $A \notin m$ D、 $m \in α$ ， $A \in m$

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8. 设 $m$ ， $n$ 为两条不同的直线， $α$ ， $β$ 为两个不同的平面，则下列结论正确的是（）

A、若 $m ⊥ n$ ， $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$ B、若 $m // n$ ， $m // α$ ， $n // β$ ，则 $α // β$ C、若 $α ⊥ β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $m ⊥ n$ D、若 $m // n$ ， $n // α$ ，则 $m // α$

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9. 设 $α$ 是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则（）

A、若 $m \subset α$ ， $n \subset α$ ， $l ⊥ m$ ， $l ⊥ n$ ，则 $l ⊥ α$ B、若 $l / / m ， m / / n ， l ⊥ α$ ，则 $n ⊥ α$ C、若 $l / / m ， m ⊥ α ， n ⊥ α$ ，则 $l ⊥ n$ D、若 $m \subset α$ ， $l ⊥ n ， n ⊥ α$ ，则 $l / / m$

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二、多选题

10. 已知四面体 $A B C D$ 的所有棱长均为2，则下列结论正确的是（）

A、异面直线 $A C$ 与 $B D$ 所成角为 $60 °$ B、点A到平面 $B C D$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ C、 $A B ⊥ C D$ D、四面体 $A B C D$ 的外接球体积为 $\sqrt{6} π$

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11. 如图，在菱形ABCD中， $A B = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ， $∠ B A D = 60 °$ ，沿对角线BD将 $△ A B D$ 折起，使点A，C之间的距离为 $2 \sqrt{2}$ ，若P，Q分别为直线BD，CA上的动点，则下列说法正确的是（）

A、当 $A Q = Q C$ ， $4 P D = D B$ 时，点D到直线PQ的距离为 $\frac{\sqrt{14}}{14}$ B、线段PQ的最小值为 $\sqrt{2}$ C、平面 $A B D ⊥$ 平面BCD D、当P，Q分别为线段BD，CA的中点时，PQ与AD所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{4}$

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12. 已知正四棱锥 $S - A B C D$ 的侧棱长是底面边长的 $\sqrt{3}$ 倍， $O$ 为底面中心， $E$ 是 $S B$ 的中点， $A C = 2$ ，则（）

A、异面直线 $A E$ ， $S C$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{10}$ B、 $S A = \sqrt{6}$ C、异面直线 $A E$ ， $S C$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{10}$ D、 $S O = \sqrt{5}$

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13. 在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 满足 $\vec{D P} = λ \vec{D D_{1}} + μ \vec{D A}$ ， $λ \in [0 ， 1]$ ， $μ \in [0 ， 1]$ ，则以下说法正确的是（）

A、当 $λ = μ$ 时， $B P //$ 平面 $C B_{1} D_{1}$ B、当 $μ = \frac{1}{2}$ 时，存在唯一点 $P$ 使得 $D P$ 与直线 $C B_{1}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ C、当 $λ + μ = 1$ 时，CP长度的最小值为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、当 $λ + μ = 1$ 时，CP与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成的角不可能为 $\frac{π}{3}$

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14. 如图（1）是一副直角三角板.现将两个三角板沿它们的公共边翻折成图（2）的四面体 $A B C D$ ，设 $A D$ ， $A C$ 与面 $B C D$ 所成角分别为 $α$ ， $β$ ，在翻折的过程中，下列叙述正确的是（）

A、存在某个位置使得 $A D ⊥ B C$ B、若 $B C = 10$ ，当二面角 $A - B C - D = 30 °$ 时，则 $A D = \frac{10 \sqrt{3}}{3}$ C、当 $A$ 在面 $B C D$ 的射影在三角形 $B C D$ 的内部（不含边界），则 $α < β$ D、异面直线 $A D$ 与 $B C$ 所成角小于 $60 °$

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三、填空题

15. 已知 $m$ ， $n$ 是两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，下列说法：
①若 $α ⊥ β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则直线 $m$ 与 $n$ 可能平行；
②若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ， $α ⊥ β$ ，则直线 $m$ 与 $n$ 可能相交､平行或异面；
③若 $m ⊥ α$ ， $n ∥ α$ ，则直线 $m$ 与 $n$ 一定垂直；
④若 $m \subset α$ ， $n \subset β$ ， $α ∥ β$ ，则直线 $m$ 与 $n$ 一定平行.
以上说法正确的是.（填序号）

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16. 如图，已知正方体 $A B C D - A B C D$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $A D$ ， $A B$ 的中点，点 $G$ 在上底面 $A B C D$ （含边界）上运动.请补充一个恰当条件，当点 $G$ 满足时，有 $B C / /$ 平面 $E F G$ .

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17. 《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马．现有阳马 $P - A B C D$ ， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为正方形，且 $P A = A B$ ，则异面直线 $P B$ 与 $A C$ 所成角的大小为

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18. 如图，已如平面四边形ABCD， $A B = B C = 3$ ， $C D = 1$ ， $A D = \sqrt{5}$ ， $∠ A D C = 90 °$ .沿直线AC将 $△ D A C$ 翻折成 $△ D^{'} A C$ ，则 $\vec{A C} \cdot \vec{B D} =$ ；当平面 $D^{'} A C ⊥$ 平面ABC时，则异面直线AC与 $B D^{'}$ 所成角余弦值是.

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19. 如图，已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 各棱长均相等， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A C = \frac{π}{3}$ ，则异面直线 $A A_{1}$ 与 $B C$ 所成角的大小是，二面角 $A - B C - B_{1}$ 的平面角的正弦值是．

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20. 如图，平行六面体ABCD－A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，且∠C₁CB＝∠C₁CD＝∠BCD＝60°.CD＝CC₁＝1.则A₁C与平面C₁BD（填“垂直”或“不垂直”）；A₁C的长为.

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21. 已知棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，点 $E$ 为 $A A_{1}$ 的中点，过 $B$ ， $E$ ， $D_{1}$ 三点的平面截该正方体所得的截面记为 $σ$ ，若点 $P \in σ$ ，则线段 $B_{1} P$ 长度的取值范围为.

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22. 如图1，在 $Rt$ △ $A B C$ 中， $B = 90^{\circ}$ ， $B C = 3$ ， $A B = 6$ ， $D$ ， $E$ 分别是 $A B$ ， $A C$ 上的点，且 $D E$ $//$ $B C$ ， $D E = 2$ ，将△ $A D E$ 沿 $D E$ 折起，使 $A$ 到 $A_{1}$ ，得到四棱锥 $A_{1} - D E C B$ ，如图2．在翻折过程中，有下列结论：

① $D E ⊥$ 平面 $A_{1} D B$ 恒成立；

②若 $M$ 是 $A_{1} B$ 的中点， $N$ 是 $D B$ 的中点，总有 $M N$ $//$ 平面 $A_{1} D E$ ；

③异面直线 $A_{1} C$ 与 $D E$ 所成的角为定值；

④三棱锥 $B - A_{1} D E$ 体积的最大值为 $\frac{8}{3}$ ．

其中正确结论的序号为．

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2022年高考数学二轮复习 选择填空题型 13 空间点、直线、平面间的位置关系，空间角

一、单选题

二、多选题

三、填空题

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