浙教版备考2022年中考数学一轮复习专题32 圆的动点问题

试卷更新日期：2022-01-10 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 如图，点A是函数y＝ $\frac{1}{x}$ 的图象上的点，点B，C的坐标分别为B（﹣ $\sqrt{2}$ ，﹣ $\sqrt{2}$ ），C（ $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{2}$ ）．试利用性质：“函数y＝ $\frac{1}{x}$ 的图象上任意一点A都满足|AB﹣AC|＝2 $\sqrt{2}$ ”求解下面问题：作∠BAC的角平分线AE，过B作AE的垂线交AE于F，已知当点A在函数y＝ $\frac{1}{x}$ 的图象上运动时，点F总在一条曲线上运动，则这条曲线为（）

A、直线 B、抛物线 C、圆 D、反比例函数的曲线

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2. 如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为斜边向外作等腰直角三角形△ACD，△BCE，弧AC和弧BC的中点分别是M，N．连接DM，EN，若C在半圆上由点A向B移动的过程中，DM∶EN的值的变化情况是（）

A、变大 B、变小 C、先变大再变小 D、保持不变

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3. 如图，在Rt $△ A O B$ 中，OA＝OB＝4 $\sqrt{2}$ ，⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ长的最小值为（）

A、2 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、1 D、2

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4. 如图，点A的坐标为（﹣3，2），⊙A的半径为1，P为坐标轴上一动点，PQ切⊙A于点Q ，在所有P点中，使得PQ长最小时，点P的坐标为（　　）

A、（0，2） B、（0，3） C、（﹣2，0） D、（﹣3，0）

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5. 如图，点A在半径为6的 $⊙ O$ 内， $O A = 2 \sqrt{3}$ ，P为 $⊙ O$ 上一动点，当 $∠ O P A$ 取最大值时， $P A$ 等于（）

A、3 B、 $2 \sqrt{6}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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6. 如图，已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点M的横坐标为3，以M为圆心，5为半径作 $⊙ M$ ，与y轴交于点A和点B，点P是 $\overset{⌢}{A C}$ 上的一动点，Q是弦 $A B$ 上的一个动点，延长 $P Q$ 交 $⊙ M$ 于点E，运动过程中，始终保持 $∠ A Q P = ∠ A P B$ ，当 $A P + Q B$ 的结果最大时， $P E$ 长为（）

A、 $\frac{7 \sqrt{3}}{2}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $\frac{6 \sqrt{21}}{5}$ D、 $\frac{8 \sqrt{21}}{5}$

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7. 如图，半径为1cm的 $⊙ P$ 在边长为9πcm，12πcm，15πcm的三角形外沿三边滚动（没有滑动）一周，则圆P所扫过的面积为（）cm²

A、73π B、75π C、76π D、77π

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8. 如图，扇形 $O A B$ 的圆心角的度数为 $120 °$ ，半径长为4， $P$ 为弧 $A B$ 上的动点， $P M ⊥ O A ， P N ⊥ O B$ ，垂足分别为 $M ， N$ ， $D$ 是 $Δ P M N$ 的外心．当点 $P$ 运动的过程中，点 $M ， N$ 分别在半径上作相应运动，从点 $N$ 离开点 $O$ 时起，到点 $M$ 到达点 $O$ 时止，点 $D$ 运动的路径长（）

A、 $\frac{2}{3} π$ B、 $π$ C、 $2$ D、 $2 \sqrt{3}$

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9. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $A B = 10$ ， $A C = 8$ ， $B C = 6$ ，以边的 $A B$ 中点 $O$ 为圆心作半圆，使 $B C$ 与半圆相切，点 $P ， Q$ 分别是边 $A C$ 和半圆上的动点，连接 $P Q$ ，则 $P Q$ 长的最大值与最小值的和是（）

A、8 B、9 C、10 D、12

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10. 已知⊙O的半径为3，A为圆内一定点，AO＝1，P为圆上一动点，以AP为边作等腰△APQ，AP＝PQ，∠APQ＝120°，则OQ的最大值为（　　）

A、 $1 + 3 \sqrt{3}$ B、 $1 + 2 \sqrt{3}$ C、 $3 + \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{3} - 1$

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二、填空题

11. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为．

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12. 如图所示，AB，AC与⊙O相切于点B，C，∠A=50°，点P是圆上异于B，C的一动点，则∠BPC的度数是．

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13. 如图，平面直角坐标系中，分别以点 $A (- 2 ， 3)$ ， $B (3 ， 4)$ 为圆心，以1，3为半径作 $⊙ A$ ， $⊙ B$ ，M，N分别是 $⊙ A$ ， $⊙ B$ 上的动点，P为x轴上的动点，则 $P M + P N$ 的最小值等于．

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14. 如图，⊙O的半径为1，弦 $A B = \sqrt{2}$ ， $\overset{⌢}{A C} = \overset{⌢}{B C}$ ，点 $P$ 为劣弧 $A C$ 上一个动点，延长 $B P$ 至点 $Q$ ，使 $B P \cdot B Q = A B^{2}$ ，当点 $P$ 由点 $A$ 运动到点 $C$ 时，点 $Q$ 的运动路径长为.

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15. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一动点，将AC绕点A逆时针旋转120°得AD，若AB＝2，则BD的最大值为.

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16. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ，点 $O$ 是该三角形边上一点，且 $O B = 1$ ，以 $O$ 为圆心，1为半径作圆，点 $P$ 是这个圆上的一动点，连接 $A P$ ，则线段 $A P$ 的最大值为.

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三、综合题

17. 如图，在半径为5的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．

(1)、当BC=6时，求线段OD的长；

(2)、在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．

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18. 如图，四边形ABCD是⊙O 的内接四边形，对角线AC，BD交于点E，AB=AC.

(1)、如图1，若BD是⊙O的直径，求证：∠BAC=2∠ACD；

(2)、如图2，若BD⊥AC，DE =3，CE=4，求BE的长；

(3)、如图3，若∠ABC+∠DCB=90°，AD=7，BC=24，求AB的长；

(4)、在（3）的条件下，保持BC不动，使AD在⊙O上滑动，（滑动中AD长度保持不变）直接写出BD+AC的最大值．

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19. 如图，在平面直角坐标系中，边长为 $6$ 的正方形 $A B C D$ 的四条边与坐标轴平行，顶点A、B分别在第一象限、第二象限，对角线 $A C$ 、 $B D$ 的交点与坐标原点O重合，当正方形 $A B C D$ 的边上存在点Q，满足 $P Q \leq 2$ 时，称点P为正方形 $A B C D$ 的伴随点．

(1)、点A的坐标为点， B的坐标为，点C的坐标为，点D的坐标为．

(2)、当正方形 $A B C D$ 的伴随点P的坐标为 $(3 ， 0)$ 时，点Q的坐标可以为（写出一个即可）．

(3)、在点 $P_{1} (0 ， 0)$ 、 $P_{2} (5.5 ， 5.5)$ 、 $P_{3} (- 4 ， 2)$ 、 $P_{4} (1 ， - 2)$ 中，正方形 $A B C D$ 的伴随点是．

(4)、点P在直线 $y = x$ 上．若点P为正方形 $A B C D$ 的伴随点，直接写出点P横坐标m的取值范围．

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20. 提出问题：已知平面直角坐标系内，任意一点A ，到另外一个点B之间的距离是度多少？

(1)、问题解决：
遇到这种问题，我们可以先从特例入手，最后推理得出结论
探究一：点A（1，﹣1）到B（﹣1，﹣1）的距离d₁＝，

探究二：点A（2，﹣2）到B（﹣1，﹣1）的距离d₁＝，

一般规律：

如图1，在平面直角坐标系xOy内已知A（x₁ ， y₁）、B（x₂ ， y₂），我们可以表示连接AB ，在构造直角三角形，使两条边交于M ，且∠M＝90°，此时AM＝， BM＝， AB＝．

(2)、已知互相平行的直线y＝x﹣2与y＝x＋b之间的距离是3 $\sqrt{2}$ ，试求b的值．
拓展延伸：

拓展一：已知点M（﹣1，3）与直线y＝2x上一点N的距离是3，则△OMN的面积是．

拓展二：如图2，已知直线y＝ $- \frac{4}{3} x - 4$ 分别交x ， y轴于A ， B两点，⊙C是以C（2，2）为圆心，2为半径的圆，P为⊙C上的动点，试求△PAB面积的最大值．

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21. 对于平面直角坐标系 $x O y$ 内任意一点P，过P点作 $P M ⊥ x$ 轴于点M， $P N ⊥ y$ 轴于点N，连接 $M N$ ，则称 $M N$ 的长度为点P的垂点距离，记为h．特别地，点P与原点重合时，垂点距离为0．

(1)、点 $A (2 ， 0) ， B (4 ， 4) ， C (- 2 ， \sqrt{2})$ 的垂点距离分别为，，；

(2)、点P在以 $Q (\sqrt{3} ， 1)$ 为圆心，半径为3的 $⊙ Q$ 上运动，求出点P的垂点距离h的取值范围；

(3)、点T为直线 $l ： y = \sqrt{3} x + 6$ 位于第二象限内的一点，对于点T的垂点距离h的每个值有且仅有一个点T与之对应，求点T的横坐标t的取值范围．

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22. 在平面中，对于 $⊙ C$ 以及它的弦 $P Q$ ，若存在正方形 $C D E F$ ，使点 $D$ 在弦 $P Q$ 上，点 $E$ 在 $⊙ C$ 上，则称正方形 $C D E F$ 是 $⊙ C$ 关于弦 $P Q$ 的一个“联络正方形”
下图中的正方形 $C D E F$ 即为 $⊙ C$ 关于弦 $P Q$ 的一个“联络正方形”

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $C$ 的坐标为 $(4 ， 3)$ ，点 $P$ 的坐标为 $(t ， 0)$ $(t \neq 4)$ ，以 $C$ 为圆心， $C P$ 为半径的圆与 $x$ 轴的另一个交点为 $Q$ ．

(1)、当 $t = 2$ 时，判断 $⊙ C$ 关于弦 $P Q$ 的“联络正方形”是否存在；

(2)、当 $t = 0$ 时， $⊙ C$ 关于弦 $P Q$ 的“联络正方形”为 $C D E F$ ，求点 $E$ 的坐标；

(3)、当 $⊙ C$ 关于弦 $P Q$ 的“联络正方形”为 $C D E F$ 存在，且点 $E$ 在抛物线 $y = x^{2} - 1$ 上时，直接写出此时点 $F$ 的坐标．

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23. 如图，BD是半径为3的⊙O的一条弦，BD＝4 $\sqrt{2}$ ，点A是⊙O上的一个动点（不与点B，D重合），以A，B，D为顶点作▱ABCD.

(1)、如图2，若点A是劣弧 $\overset{⌢}{B D}$ 的中点.
①求证：▱ABCD是菱形；

②求▱ABCD的面积.

(2)、若点A运动到优弧 $\overset{⌢}{B D}$ 上，且▱ABCD有一边与⊙O相切.
①求AB的长；

②直接写出▱ABCD对角线所夹锐角的正切值.

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24. 如图，在边长为5的菱形OABC中，sin∠AOC= $\frac{4}{5}$ ，O为坐标原点，A点在x轴的正半轴上，B，C两点都在第一象限.点P以每秒1个单位的速度沿O→A→B→C→O运动一周，设运动时间为t（秒）.请解答下列问题：
备用图

(1)、当CP⊥OA时，求t的值；

(2)、以点P为圆心，以OP为半径画圆，当⊙P与菱形OABC的一边所在直线相切，且切点不在菱形的边上时，求出t的值.

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