浙教版备考2022年中考数学一轮复习专题18 二次函数的应用

试卷更新日期：2022-01-09 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 已知 $y = a x^{2} + b x + c$ $(a \neq 0)$ 的图象如图所示，对称轴为直线 $x = 2$ ，若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ $(a \neq 0)$ 的两个根，且 $x_{1} < x_{2}$ ， $- 1 < x_{1} < 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $x_{1} + x_{2} < 0$ B、 $4 < x_{2} < 5$ C、 $b^{2} - 4 a c < 0$ D、 $a b > 0$

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2. 某种商品的价格是 $2$ 元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是 $x$ ，经过两次降价后的价格 $y$ （单位：元）随每次降价的百分率 $x$ 的变化而变化，则 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式是（）

A、 $y = 2 {(x + 1)}^{2}$ B、 $y = 2 {(1 - x)}^{2}$ C、 $y = {(x + 1)}^{2}$ D、 $y = {(x - 1)}^{2}$

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3. 如图，抛物线y＝ax²+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝1，如果关于x的方程ax²+bx﹣6＝0（a≠0）的一个根为2，那么该方程的另一个根为（）

A、﹣2 B、﹣1 C、0 D、3

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4. 如图，若二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x＝1，与y轴交于点C，与x轴交于点A，点B（﹣1，0），则（1）二次函数的最大值为a+b+c；（2）a﹣b+c＜0；（3）b²﹣4ac＜0；（4）当y＞0时，-1＜x＜3．其中正确的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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5. 某店销售一款运动服，每件进价100元，若按每件128元出售，每天可卖出100件，根据市场调查结果，若每件降价1元，则每天可多卖出5件，要使每天获得的利润最大，则每件需要降价（）

A、3元 B、4元 C、5元 D、8元

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6. 如图，四边形ABCD中，AB=AD ， CE⊥BD ， CE= $\frac{1}{2}$ BD ．若△ABD的周长为20cm，则△BCD的面积S（cm²）与AB的长x（cm）之间的函数关系式可以是（）

A、 $S = \frac{1}{4} x^{2} - 10 x + 100$ B、 $S = 2 x^{2} - 40 x + 200$ C、 $S = x^{2} - 20 x + 100$ D、 $S = x^{2} + 20 x + 100$

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7. 如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）具有函数关系为 $h = 20 t - 5 t^{2}$ ，则小球从飞出到落地的所用时间为 $($ 　　 $)$

A、 $3 s$ B、 $4 s$ C、 $5 s$ D、 $6 s$

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8. 已知二次函数y=ax²+bx-1（a，b是常数，a≠0）的图象经过A（2，1），B（4，3），C（4，-1）三个点中的其中两个点．平移该函数的图象，使其顶点始终在直线y=x-1上，则平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的（）

A、最大值为-1 B、最小值为-1 C、最大值为- $\frac{1}{2}$ D、最小值为- $\frac{1}{2}$

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9. 将二次函数y＝﹣x²＋2x＋3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示.当直线y＝x＋b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（）

A、 $- \frac{13}{4}$ 或﹣2 B、 $- \frac{21}{4}$ 或﹣2 C、 $- \frac{21}{4}$ 或﹣3 D、 $- \frac{13}{4}$ 或﹣3

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10. 如图，是抛物线 $y_{1} = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 图象的一部分，抛物线的顶点坐标为 $B (- 1 ， - 3)$ ，与 $x$ 轴的一个交点为 $A (- 4 ， 0)$ .直线 $y_{2} = m x + n (m \neq 0)$ 经过点 $A$ 和点 $B$ .以下结论：
① $2 a + b = 0$ ；② $a b c < 0$ ；③抛物线与 $x$ 轴的另一个交点是 $(4 ， 0)$ ；④方程 $a x^{2} + b x + c = - 3$ 有两个不相等的实数根；⑤ $a + b + c > - m + n$ ；⑥不等式 $m x + n > a x^{2} + b x + c$ 的解集为 $- 4 < x < - 1$ .其中结论正确的是（）

A、①④⑥ B、②⑤⑥ C、②③⑤ D、①⑤⑥

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二、填空题

11. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图像与x轴分别交于点 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (- 4 ， 0)$ ，则关于x的方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根为．

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12. 如图，二次函数y＝ax²+bx+c与反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ 的图象相交于点A（﹣1，y₁）、B（1，y₂）、C（3，y₃）三个点，则不等式ax²+bx+c＞ $\frac{k}{x}$ 的解是．

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13. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y₁＝kx+m（k≠0）的抛物线y₂＝ax²+bx+c（a≠0）交于点A（0，4），B（3，1），当y₁≤y₂时，x的取值范围是．

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14. 如图，正方形ABCD的边长是4，E是AB上一点，F是AD延长线上的一点，BE=DF。若四边形AEGF是矩形，则矩形AEGF的面积y关于BE的长的函数解析式是(不用写出x的取值范围)

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15. 退休的李老师借助自家15米的院墙和总长度为30米的围栏，在院墙外设计一个矩形花圃种植花草．为方便进出，他在如图所示的位置安装了一个1米宽的门，如果设和墙相邻的一边长为x米，花圃面积为y平方米，则y与x之间的函数关系式为．

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16. 某商店经营一种水产品，成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，销售单价定为元时，获得的利润最多.

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三、综合题

17. 从上饶到杭州的火车原来的平均速度是180千米/时，经过两次提速后平均速度为217.8千米/时，这两次提速的百分率相同．

(1)、求该火车每次提速的百分率；

(2)、填空：若上饶到杭州的铁路长396千米，则第一次提速后从上饶到杭州所用的时间比提速前少了小时．

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18. 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长OA为12m，宽OB为4m，建立直角坐标系，抛物线可用y＝﹣ $\frac{1}{6}$ x²+bx+c表示．

(1)、求抛物线的函数关系式和拱顶D到地面OA的距离；

(2)、一辆货运汽车载集装箱后高为6m，宽为4m，若隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？

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19. 如图，以60米/秒的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：米）与飞行时间t（单位：秒）之间有下列函数关系：h＝30t﹣5t².依据所给信息，解决下列问题：

(1)、小球的飞行高度是否能达到25米？如果能，需要飞行的时间是多少？

(2)、小球的飞行高度是否能达到45米？如果能，需要飞行的时间是多少？请直接写出答案：．

(3)、小球从飞出到落地要用多少时间（设地面是水平的）？

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20. 小明在一次打篮球时，篮球传出后的运动路线为如图所示的抛物线，以小明所站立的位置为原点O建立平面直角坐标系，篮球出手时在O点正上方1m处的点P.已知篮球运动时的高度y（m）与水平距离x（m）之间满足函数表达式y=- $\frac{1}{8}$ x²+x+c.

(1)、求y与x之间的函数表达式；

(2)、球在运动的过程中离地面的最大高度；

(3)、小亮手举过头顶，跳起后的最大高度为BC=2.5m，若小亮要在篮球下落过程中接到球，求小亮离小明的最短距离OB.

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21. 某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同.如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣ $\frac{1}{6}$ （x﹣5）²+6.

(1)、求雕塑高OA.

(2)、求落水点C，D之间的距离.

(3)、若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，OE＝10m，EF＝1.8m，EF⊥OD.问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明.

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22. 科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园．
如图所示，图中点的横坐标x表示科技馆从8：30开门后经过的时间（分钟），纵坐标y表示到达科技馆的总人数．图中曲线对应的函数解析式为y= $\{\begin{cases} a x^{2} ， (0 \leq x \leq 30) \\ b {(x - 90)}^{2} + n ， (30 < x \leq 90) \end{cases}$ ，10：00之后来的游客较少可忽略不计．

(1)、请写出图中曲线对应的函数解析式；

(2)、为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过684人，后来的人在馆外休息区等待．从10：30开始到12：00馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆内人数减少到624人时，馆外等待的游客可全部进入．请问馆外游客最多等待多少分钟？

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23.
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+ $\frac{3}{2}$ x+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（4，0），抛物线的对称轴是直线x= $\frac{3}{2}$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、M为第一象限内的抛物线上的一个点，过点M作MG⊥x轴于点G，交AC于点H，当线段CM=CH时，求点M的坐标；

(3)、在（2）的条件下，将线段MG绕点G顺时针旋转一个角α（0°＜α＜90°），在旋转过程中，设线段MG与抛物线交于点N，在线段GA上是否存在点P，使得以P、N、G为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

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24. 图（1）是一个九拱桥，桥拱呈抛物线形，且每个拱的形状、水平高度完全相同．在每一个拱中，当水平宽度AB=12m时，水面与拱底水平，且水面与拱顶的最大距离为4m．如图（2），以水平面为x轴，点A为原点建立平面直角坐标系．

(1)、求第一个拱所在的抛物线的表达式；

(2)、若河水上涨，水面离拱顶最大距离为1m，求拱内水面的宽度；

(3)、若相邻两个拱底部的距离为2m，第二个拱、第三个拱……沿着x轴依次向右排列，请直接写出第九个拱所在的抛物线的表达式．

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25. 2015年底某市汽车拥有量为100万辆，而截止到2017年底，该市的汽车拥有量已达到144万辆．

(1)、求2015年底至2017年底该市汽车拥有量的年平均增长率；

(2)、若年增长率保持不变，预计2018年底该市汽车拥有量将达到多少万辆．

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26. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x$ 经过点 $A (- 4 ， 0)$ ， $B (- 1 ， 3)$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、已知抛物线的对称轴为直线l，该抛物线上一点 $P (m ， n)$ 关于直线l的对称点为M，将抛物线沿y轴翻折，点M的对应点为N，请问是否存在点P，使四边形OAPN的面积为20？若存在，判断四边形OAPN的形状，并求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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27. 湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了 $20000 k g$ 淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养 $10$ 天的总成本为 $30.4$ 万元；放养 $20$ 天的总成本为 $30.8$ 万元（总成本 $=$ 放养总费用+收购成本）．

(1)、设每天的放养费用是 $a$ 万元，收购成本为 $b$ 万元，求 $a$ 和 $b$ 的值；

(2)、设这批淡水鱼放养 $t$ 天后的质量为 $m (k g)$ ，销售单价为 $y$ 元 $/ k g$ ．根据以往经验可知： $m$ 与 $t$ 的函数关系为 $m = {\begin{matrix} 20000 (0 \leq t \leq 50) \\ 100 t + 15000 (50 < t \leq 100) \end{matrix}$ ； $y$ 与 $t$ 的函数关系如图所示．
①分别求出当 $0 \leq t \leq 50$ 和 $50 < t \leq 100$ 时， $y$ 与 $t$ 的函数关系式；

②设将这批淡水鱼放养 $t$ 天后一次性出售所得利润为 $W$ 元，求当 $t$ 为何值时， $W$ 最大？并求出最大值．（利润 $=$ 销售总额-总成本）

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28. 在平面直角坐标系中，函数y＝﹣x²＋2mx＋2m＋1的图像记为G，抛物线G的自变量x的取值范围为x≤2m，m为常数．

(1)、当点（0，3）在图象G上时，求m的值．

(2)、抛物线G上有一点B到y轴的最小距离为2，求点B的坐标．

(3)、在平面直角坐标系中，点P的坐标为（m，﹣m²＋m＋3）．
①当图象G的最高点的纵坐标与点P的纵坐标之差为1时，求m的值．

②将点P向左平移4个单位长度得到点Q，连结PQ．以PQ为边向上方作矩形PQMN，使PN＝2，当图象G在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围．

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