重庆市名校联盟2021-2022学年高一上学期数学第二次联考试卷

试卷更新日期：2022-01-08 类型：月考试卷

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一、单选题

1. $- 24 0^{∘}$ 可以化为（）

A、 $- \frac{2}{3} π$ B、 $\frac{4}{3} π$ C、 $- \frac{4}{3} π$ D、 $\frac{2}{3} π$

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2. 已知集合 $A = {x \in R | 1 \leq x \leq 3}$ ， $B = {x \in R | x^{2} \geq 4}$ ，则 $A ∪ (∁_{R} B) =$ （）

A、 $[2 ， 3]$ B、 $(- 2 ， 3]$ C、 $[1 ， 2)$ D、 $(- \infty ， - 2]$

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3. 若角 $α$ 的终边经过点 $P (- 1 ， - \sqrt{3})$ ，则 $c o s α =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、-1 D、 $- \sqrt{3}$

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4. 函数 $f (x) = l o g_{2} x + x - 2$ 的零点所在的一个区间是（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(3 ， 4)$

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5. 函数 $f (x) = l o g_{\sqrt{2}} (- x^{2} + 1)$ 的定义域为（）

A、 $(- ∞ ， 0)$ B、 $(0 ， + ∞)$ C、 $(- 1 ， 1)$ D、 $[- 1 ， 1]$

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6. 对数的创始人约翰·奈皮尔（John Napier，1550-1617）是苏格兰数学家．直到18世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，人们才认识到指数与对数之间的天然关系对数发现前夕，随着科技的发展，天文学家做了很多的观察，需要进行很多计算，特别是大数的连乘，需要花费很长时间．基于这种需求，1594年，奈皮尔运用了独创的方法构造出对数方法．现在随着科学技术的需要，一些幂的值用数位表示，譬如 $2^{10} = 1024 \in (1 0^{3} ， 1 0^{4})$ ，所以 $2^{10}$ 的数位为4．那么 $2^{2021}$ 的数位是（）（注 $l g 2 \approx 0.3$ ）

A、6 B、7 C、606 D、607

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7. 设 $x ， y \in R$ ， $x + 2 y = 2$ ，则 $3^{x} + 9^{y}$ 的最小值为（）

A、12 B、27 C、6 D、3

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 - | x | ， x \leq 2 \\ {(x - 2)}^{2} ， x > 2 \end{array}$ ，函数 $g (x) = 3 - f (2 - x)$ ，则函数 $y = f (x) - g (x)$ 的零点个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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二、多选题

9. 下列命题是真命题的是（）

A、命题“ $\exists x_{0} \in R$ ，使得 $x_{0}^{2} + x_{0} - 1 < 0$ ”的否定是“ $\forall x \in R$ ，均有 $x^{2} + x - 1 > 0$ ” B、 $\forall x \in R ， x^{2} + x + 1 > 0$ C、“ $x^{2} - x = 0$ ”是“ $x = 1$ ”的必要不充分条件 D、如果 $a < b < 0$ ，那么 $\frac{1}{a^{2}} < \frac{1}{b^{2}}$

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10. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A、该图象对应的函数解析式为 $f (x) = 2 s i n (2 x + \frac{π}{3})$ B、函数 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{5 π}{12}$ 对称 C、函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{5 π}{12} ， 0)$ 对称 D、函数 $y = f (x)$ 在区间 $[- \frac{2 π}{3} ， - \frac{π}{6}]$ 上单调递减

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11. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | l o g_{2} x | ， 0 < x \leq 2 ， \\ l o g_{\frac{1}{2}} (x - \frac{3}{2}) ， x > 2 ， \end{array}$ 若实数 $a ， b ， c$ 满足 $0 < a < b < c$ ，且 $f (a) = f (b) = f (c)$ ，则下列结论恒成立的是（）

A、 $a b = 1$ B、 $a + b \leq 2$ C、 $\frac{1}{2} < a < 1$ D、 $c - a = \frac{3}{2}$

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12. 关于函数 $f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - x^{4}}}{| x - 1 | - 1}$ ，描述正确的是（）

A、 $f (x)$ 的定义域为 $[- 1 ， 0) ∪ (0 ， 1]$ B、 $f (x)$ 有 $3$ 个零点 C、 $f (x)$ 在定义域上是增函数 D、 $f (x)$ 是定义域上的奇函数

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三、填空题

13. 若 $t a n α = 1$ ，则 $s i n α c o s α =$ ．

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14. 若函数 $f (x)$ 为 $R$ 上的偶函数，且在 $[0 ， + ∞)$ 上单调递减， $f (- 2) = 0$ ，则不等式 $f (x) > 0$ 的解集为．

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15. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} a x - 3 ， x < 1 ， \\ l o g_{a} (2 x - 1) ， x \geq 1 \end{array}$ 是 $R$ 上的增函数，则 $a$ 的取值范围为．

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{| x - 1 |} ， x > 0 \\ - x^{2} - 2 x + 1 ， x \leq 0 \end{array}$ ，若关于x的方程 $f^{2} (x) - 3 f (x) + a = 0 (a \in R)$ 有8个不等的实数根，则a的取值范围是．

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四、解答题

17.

(1)、化简求值； $l g \frac{5}{2} + 21 g 2 + 3^{l o g_{3} 2}$ ；

(2)、若角 $α$ 的终边上有一点 $P (4 ， - 3)$ ，求 $s i n α + c o s α$ 的值．

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18. 已知集合 $A = {1 ， 2 ， 3}$ ．

(1)、若 $M$ 是 $A$ 的子集，且至少含有元素 $3$ ，写出满足条件的所有集合 $M$ ；

(2)、若 $B = {x | a x - 3 = 0}$ ，且 $B \subseteq A$ ，求实数 $a$ 的取值集合．

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19. 已知函数 $f (x) = a^{x - \frac{1}{2}}$ 的图象经过点 $(1 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求函数 $y = f (x) (0 \leq x \leq 1)$ 的值域．

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20. 设函数 $f (x) = 2 s i n x c o s x - 2 \sqrt{3} c o s^{2} x + \sqrt{3} ， x \in R$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、若函数 $f (x)$ 的图像向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位得到函数 $g (x)$ 的图像，求函数 $g (x)$ 在 $[- \frac{π}{3} ， \frac{π}{4}]$ 上的单调区间．

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21. 一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费 $y_{1}$ （单位：万元）与仓库到车站的距离 $x$ （单位：km）成反比，每月库存货物费 $y_{2}$ （单位：万元）与 $(4 x + 1)$ 成正比；若在距离车站10km处建仓库，则 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 分别为2万元和8.2万元．记两项费用之和为 $w$ ．

(1)、求 $w$ 关于 $x$ 的解析式；

(2)、这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？求出最小值．

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22. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} (2^{x} + 1) + k \cdot g (x) (k$ 为常数， $k \in R)$ ．请在下面四个函数：① $g_{1} (x) = x^{2}$ ， ② $g_{2} (x) = l o g_{2} x$ ， ③ $g_{3} (x) = x$ ， ④ $g_{4} (x) = 2^{x}$ 中选择一个函数作为 $g (x)$ ，使得 $f (x)$ 是偶函数．

(1)、求 $f (x)$ 的表达式；

(2)、设函数 $h (x) = l o g_{2} (a \cdot 2^{x} - \frac{1}{2} a) + \frac{1}{2} x (a \in R)$ ，若方程 $f (x) = h (x)$ 只有一个解，求 $a$ 的取值范围．

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