山东省2021-2022学年高二上学期数学12月“山东学情”联考试卷

试卷更新日期：2022-01-08 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 抛物线 $y = 4 x^{2}$ 的焦点到准线的距离为|（）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、 $\frac{1}{4}$

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2. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} = 3 ， a_{5} = 5$ ，其前n项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{10}$ 的值为（）

A、10 B、55 C、100 D、110

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3. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是平行四边形，E为 $P D$ 的中点，若 $\vec{D A} = a ， \vec{D C} = b ， \vec{D P} = c$ ，则用基底 ${a ， b ， c}$ 表示向量 $\vec{B E}$ 为（）

A、 $a + b + \frac{1}{2} c$ B、 $a - b + \frac{1}{2} c$ C、 $- a - b - \frac{1}{2} c$ D、 $- a - b + \frac{1}{2} c$

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4. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{1} ， a_{5}$ 是方程 $x^{2} + 4 x + 3 = 0$ 的两根，则 $a_{3}$ 的值是（）

A、-2 B、 $- \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\pm \sqrt{3}$

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5. $m = \frac{1}{6}$ 是两直线 $x + 2 m y - 1 = 0 ， (3 m - 1) x - m y - 1 = 0$ 平行的（）

A、充分不必要条件 B、充要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 在下列四个命题中：
①若向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 所在的直线为异面直线，则向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 一定不共面；②向量 $\vec{a} = (2 ， - 1 ， 2) ， \vec{b} = (- 4 ， 2 ， m)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为钝角，则实数m的取值范围为 $m < 5$ ；③直线 $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ 的一个方向向量为 $(1 ， - \frac{b}{a})$ ；④若存在不全为0的实数 $x ， y ， z$ 使得 $x \vec{a} + y \vec{b} + z \vec{c} = 0$ ，则 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 共面．其中正确命题的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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7. 等差数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} > 0 ， 3 a_{5} = 5 a_{8}$ ．数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ 取最大值时， $n =$ （）

A、12 B、13 C、14 D、15

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8. 已知 $⊙ C ： x^{2} - 10 x + y^{2} + 16 = 0$ ，直线 $l ： x - y + 1 = 0$ ． P为 $l$ 上的动点．过点P作 $⊙ C$ 的切线 $P A 、 P B$ ，切点为 $A 、 B$ ，当 $| P C | \cdot | A B |$ 最小时，直线 $A B$ 的方程为（）

A、 $x + y - 5 = 0$ B、 $x - y - 1 = 0$ C、 $2 x - y - 1 = 0$ D、 $x - y - 2 = 0$

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、直线 $2 x + y = 2$ 与直线 $x + 2 y = 1$ 垂直 B、过点 $(1 ， 2)$ 的直线被圆 $x^{2} + y^{2} - 6 x = 0$ 所截得的弦的长度的最小值为2． C、直线 $l ： m x - y + 1 - m = 0$ 与圆 $C ： x^{2} + (y - 1)^{2} = 5$ 的位置关系不确定． D、若直线 $m x + n y = 1$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 相交，则点 $P (m ， n)$ 在圆外．

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10. 如图，已知棱长为的1正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，F为线段 $B C_{1}$ 的中点，E为线段 $A_{1} C_{1}$ 上的动点，则下列四个结论正确的是（）

A、存在点E，使 $E F / / B D$ B、点 $E$ 到直线 $B D$ 距离的最小值为1 C、当 $E$ 为 $A_{1} C_{1}$ 的中点时， $E F$ 与 $A D_{1}$ 所成的角等于 $60 °$ D、三棱锥 $B_{1} - A C E$ 的体积为定值

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11. 曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 ， (a^{2} + b^{2} = c^{2} ， a > 0 ， b > 0 ， c > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，以 $F_{1} ， F_{2}$ 为直径的圆与渐近线和双曲线分别交于 $M ， N$ （ $M ， N$ 均在第一象限），连接 $M F_{1}$ ，交另一支渐近线于E，且E为 $M F_{1}$ 的中点，O是坐标原点．下列说法正确的是（）

A、双曲线的离心率 $e = 2$ B、双曲线的渐近线方程为 $x \pm \sqrt{3} y = 0$ C、当 $a = 1$ 时， $△ N F_{1} F_{2}$ 的面积为3 D、当 $a = 1$ 时， $△ N F_{1} F_{2}$ 的周长为 $4 + 2 \sqrt{7}$

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12. 设数列 ${a_{n}}$ 是无穷数列，若存在正整数k，使得对任意 $n \in N_{+}$ ，均有 $a_{n + k} > a_{n}$ ，则称 ${a_{n}}$ 是间隔递增数列，k是 ${a_{n}}$ 的间隔数．则下列说法正确的是（）

A、公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列 B、已知 $a_{n} = n + \frac{4}{n}$ ，则 ${a_{n}}$ 是间隔递增数列且最小间隔数是4 C、已知 $a_{n} = 2 n + (- 1)^{n}$ ，则 ${a_{n}}$ 是间隔递增数列且最小间隔数是3 D、已知 $a_{n} = n^{2} - t n + 2021$ ，若 ${a_{n}}$ 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则 $4 \leq t < 5$

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三、填空题

13. 已知数列 ${a_{n}}$ 是首项为1，公比为2的等比数列，则数列 ${a_{n}^{2}}$ 的前n项和为．

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14. 在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，直线 $A D_{1}$ 与平面 $B D C_{1}$ 之间的距离为．

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15. 与圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y = 0$ 外切于原点，且被y轴截得的弦长为8的圆的标准方程为．

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16. 双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的离心率是 $\sqrt{2}$ ，点 $F_{1} ， F_{2}$ 是该双曲线的两焦点，P在双曲线上，且 $P F_{1} ⊥ x$ 轴，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内切圆和外接圆半径之比 $\frac{r}{R} =$ ．

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四、解答题

17. 已知空间三点 $A ， B ， C$ ，三点的坐标分别是 $(2 ， - 1 ， 2) ， (4 ， 5 ， - 1) ， (- 2 ， 2 ， 3)$ ．

(1)、求与 $\vec{A B}$ 共线的单位向量．

(2)、若 $P (1 ， \frac{7}{2} ， λ)$ ，且 $A ， B ， C ， P$ 四点共面，求 $λ$ ，并求此时点P到直线 $A B$ 的距离．

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18. 已知 ${a_{n}}$ 是递增等差数列， ${b_{n}}$ 是正项等比数列， $b_{1} = 2 a_{1} = 2 ， b_{3} = 2 a_{4} ， b_{5} = 5 a_{6} + 2$ ．

(1)、求 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 ${\frac{a_{n}}{b_{n}}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若对任意的正整数n，都有 $S_{n} < m$ 恒成立求实数m的最小值．

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19. 已知点 $A 、 B$ 在直线 $x + y = 0$ 上且关于坐标原点O对称， $| A B | = 4$ ，圆M过点 $A 、 B$ 且与直线 $x + 2 = 0$ 相切．

(1)、求圆M的半径．

(2)、若圆M的半径小于4，求过点 $P (1 ， \sqrt{3})$ 且与圆M相切的直线方程．

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20. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线交抛物线于 $A ， B ， △ O A B$ 的面积为 $\frac{9}{8}$ （O为坐标原点）．

(1)、求抛物线的标准方程；

(2)、过点 $P (1 ， 0)$ 的直线 $l$ 交抛物线于 $M ， N$ ，且 $\vec{M P} = 3 \vec{P N}$ ，求 $| M N |$ ．

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21. 在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面是边长为2的正方形，侧棱 $A A_{1}$ 的长为2，且 $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = 60 °$ ．

(1)、证明：平面 $A_{1} A C ⊥$ 平面 $A B C D$

(2)、求平面 $A_{1} A C$ 与平面 $A_{1} C_{1} D$ 的夹角

(3)、在线段 $C C_{1}$ 上是否存在点P，使 $B P / /$ 平面 $A_{1} C_{1} D$ ？若存在求出点P的坐标，不存在说明理由．

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22. 在平面直角坐标系中，已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点P为椭圆 $C$ 上的动点，△ $F_{1} P F_{2}$ 的面积的最大值为 $\sqrt{3}$ ，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线 $3 x - 4 y + 5 = 0$ 相切.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若直线 $l$ 过定点 $(1 ， 0)$ 且与椭圆 $C$ 交于不同的两点A，B，点M是椭圆 $C$ 的右顶点，直线AM，BM分别与y轴交于P，Q两点，试问：以线段PQ为直径的圆是否过x轴上的定点?若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.

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