辽宁省六校协作体2021-2022学年高一上学期数学第三次考试试卷

试卷更新日期：2022-01-08 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 1 < x < 1}$ ， $B = {x | x (x - 2) < 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | - 1 < x < 0}$ B、 ${x | 0 < x < 1}$ C、 ${x | 1 < x < 2}$ D、 ${x | - 1 < x < 2}$

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2. 已知函数 $f (x) = \sqrt{x + 3} + \frac{1}{x + 2}$ ，其定义域为（）

A、R B、 ${x | x > - 3}$ C、 ${x | x \geq - 3$ 且 $x \neq - 2}$ D、 ${x | x \leq - 3$ 且 $x \neq - 2}$

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3. 函数 $f (x) = {3^{4}}^{- x^{2}}$ 的单调递增区间是（）

A、 $(- \infty ， 2)$ B、 $(- ∞ ， 0)$ C、 $(2 ， + ∞)$ D、 $(0 ， + ∞)$

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4. 已知定义在 $[m - 5 ， 1 - 2 m]$ 上的奇函数 $f (x)$ ，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 x$ ，则 $f (m)$ 的值为（）

A、-8 B、8 C、-24 D、24

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5. 若 $a = {(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{5}}$ ， $b = {(\frac{1}{5})}^{- \frac{1}{7}}$ ， $c = l o g_{7} \frac{1}{3}$ ，则（）

A、 $c < a < b$ B、 $c < b < a$ C、 $a < b < c$ D、 $a < c < b$

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6. 命题 $p ： x \geq 2$ 是命题 $q ： \frac{3}{x + 1} < 1$ 成立的（）条件

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充分且必要 D、既不充分也不必要

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7. 已知 $A (x_{1} ， f (x_{1}) ， B (x_{2} ， f (x_{2}))$ 两点在函数 $f (x) = a^{x}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）图像上，那么下列关系式一定成立的是（）

A、 $(x_{1} - x_{2}) (f (x_{1}) - f (x_{2})) > 0$ B、 $(x_{1} - x_{2}) (f (x_{1}) - f (x_{2})) < 0$ C、 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) < \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ D、 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) > \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$

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8. 对于函数 $f (x)$ ，若 $x_{1} ， x_{2}$ 满足 $f (x_{1}) f (x_{2}) = f (x_{1} + x_{2})$ ，则称 $x_{1} ， x_{2}$ 为函数 $f (x)$ 的一对“类指数”．若正实数a与b为函数 $f (x) = k x (k > 0)$ 的一对“类指数”， $a + 4 b$ 的最小值为9，则k的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{4}{3}$ D、2

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二、多选题

9. 下列结论中，正确的是（）

A、函数 $y = {2^{x}}^{- 1}$ 的定义域为R B、函数 $y = a x^{2} + 1 (a > 1)$ 的值域是 $[1 ， + \infty)$ C、若 $a^{m} > a^{n} (a > 0 ， a \neq 1)$ ，则 $m > n$ D、函数 $f (x) = 2^{x} \cdot 3^{x}$ 为指数函数

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10. 下列命题正确的是（）

A、 $\forall M ， N ， l o g_{a} (M + N) = l o g_{a} M + l o g_{a} N$ B、 $\exists M ， N ， l o g_{a} M \cdot l o g_{a} N = l o g_{a} (M N)$ C、 $\forall a ， b \in R ， l n (a b) = l n a + l n b$ ， D、 $\forall a > 0 ， b > 0 ， {a^{l g}}^{b} = {b^{l g}}^{a}$

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11. 存在实数a使得函数 $f (x) = 2^{x} + {2^{-}}^{x} - m a^{2} + a - 3$ 有唯一零点，则实数m可以取值为（）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、0 C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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12. 已知 $a ， b ， c \in R ， a + b + c = 0$ ，若方程 $3 a x^{2} + 2 b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两个根是 $x_{1} ， x_{2}$ ，则 $\frac{1}{| 2 x_{1} - 1 |} + \frac{1}{| 2 x_{2} - 1 |}$ 的值可以是（）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{3}$

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = a^{x - 1} + 3 (a > 0 ， a \neq 1)$ 的图象一定过定点 $P$ ，则 $P$ 点的坐标是.

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} ， x \geq 0 \\ 2 x ， x < 0 \end{array}$ ，则 $f (l o g_{9} \frac{1}{3}) =$ .

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15. 设 $a ， b > 0$ ，若 $a + 4 b = 1$ ，则 $l o g_{2} a + l o g_{2} b$ 的最大值为．

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16. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (\frac{1}{2})^{x} - 1 (x < 0) \\ 1 - | 1 - x | (x \geq 0) \end{array}$ ，当 $f (a) = f (b) = f (c)$ 时，其中 $a < b < c$ ．那么式子 $a f (a) + b f (b) + c f (c)$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 计算下列各式的值．

(1)、 $\sqrt{(\sqrt{3} - 2)^{2}} + 2 7^{\frac{1}{6}} + 1 6^{\frac{3}{4}} - 2 \times 8^{- \frac{2}{3}} - \sqrt[5]{2} \times {(^{})}^{- 1}$ ；

(2)、 $2 l g 5 + \frac{2}{3} l g 8 + l g 5 \cdot l g 20 + (l g 2)^{2} + 7^{l o g_{7} 5}$ ．

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18. 已知 $m = x^{2} + 2 t - 3 ， n = 4 x + 2$ ．

(1)、当 $t = 0$ 时，比较m，n的大小关系；

(2)、当 $x \in [- 3 ， 4]$ 时， $m \leq n$ 恒成立，求实数t的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = x^{2} - ax + 3$ ．
（Ⅰ）若 $f (x) \leq - 3$ 的解集为 $[b ， 3]$ ，求实数a，b的值；

（Ⅱ）当 $x \in [\frac{1}{2} ， + \infty)$ 时，若关于x的不等式 $f (x) \geq 1 - x^{2}$ 恒成立，求实数a的取值范围．

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20. 函数 $f (x) = | 2^{x} - 1 |$

(1)、请在下面坐标系中画出函数 $f (x)$ 的图像．

(2)、不等式 $f (x) < \frac{1}{4} x + \frac{3}{4}$ 的解集为．（写出结果即可，不需写过程）

(3)、若 $m < n ， f (m) = f (n)$ ，求 $m + n$ 的取值范围．

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21. 某科研单位在研发某种合金产品的过程中发现了一种新型合金材料，由大数据分析得到该产品的性能指标值y（y值越大产品性能越好）与这种新型合金材料的含量x（单位：克）的关系：当 $0 \leq x < 8$ 时，y是x的二次函数；当 $x \geq 8$ 时， $y = {(\frac{1}{2})}^{x - t}$ ．测得的部分数据如下表所示：

x

0

2

4

12

…

y

－4

4

4

$\frac{1}{4}$

…

(1)、求y关于x的函数解析式；

(2)、求该新型合金材料的含量x为何值时产品性能达到最佳．

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22. 已知函数 $f (x) = 2^{x} + a \cdot 2^{- x}$ 为奇函数． $g (x) = - 2^{2 x - 1} - 2^{- 2 x - 1} + 2^{x} - 2^{- x} + 1$

(1)、求实数a的值．

(2)、当 $x \in [b ， c]$ 时， $f (x)$ 的值域为 $[m ， n] ， g (x)$ 的值域为 $[2 m ， 2 n]$ 同时成立，求b，c的值．

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x	0	2	4	12	…
y	－4	4	4	$\frac{1}{4}$	…