河南省重点高中2021-2022学年高二上学期理数阶段性调研联考试卷

试卷更新日期：2022-01-08 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知命题 $p ： \forall x \in R$ ， $x^{2} - x + 1 \geq 0$ ，下列 $\neg p$ 形式正确的是（）

A、 $\overset{- \to}{E F}$ ，使得 $x_{0}^{2} - x_{0} + 1 \geq 0$ B、 $\overset{- \to}{E F}$ ，使得 $x_{0}^{2} - x_{0} + 1 < 0$ C、 $\neg p ： \forall x \in R$ ， $x^{2} - x + 1 < 0$ D、 $\neg p ： \forall x \in R$ ， $x^{2} - x + 1 \leq 0$

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2. 椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{25} = 1$ 的焦点坐标为（）

A、 $(\pm 3 ， 0)$ B、 $(0 ， \pm 3)$ C、 $(\pm 9 ， 0)$ D、 $(0 ， \pm 9)$

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3. 设 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别是双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的左、右焦点，点 $P$ 在双曲线上，且 $| P F_{1} | = 5$ ，则 $| P F_{2} | =$ （）

A、1 B、3 C、3或7 D、1或9

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4. “﹣3＜m＜4”是“方程 $\frac{x^{2}}{4 - m} + \frac{y^{2}}{m + 3} = 1$ 表示椭圆”的（）条件

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、既不充分也不必要

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5. 甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计的茎叶图如图所示.若甲、乙两人的平均成绩分别是 ${\bar{x}}_{甲} ， {\bar{x}}_{乙}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 ${\bar{x}}_{甲} < {\bar{x}}_{乙}$ ；乙比甲成绩稳定 B、 ${\bar{x}}_{甲} > {\bar{x}}_{乙}$ ；甲比乙成绩稳定 C、 ${\bar{x}}_{甲} > {\bar{x}}_{乙}$ ；乙比甲成绩稳定 D、 ${\bar{x}}_{甲} < {\bar{x}}_{乙}$ ；甲比乙成绩稳定

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6. 袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球.在上述事件中，是对立事件的为（）

A、① B、② C、③ D、④

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7. 从数字1，2，3，4，5中任取两个不同的数字，构成一个两位数，则这个数字大于40的概率是（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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8. 在古代，直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.三国时期吴国数学家赵爽用“弦图”( 如图) 证明了勾股定理，证明方法叙述为：“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实.”这里的“实”可以理解为面积.这个证明过程体现的是这样一个等量关系：“两条直角边的乘积是两个全等直角三角形的面积的和(朱实二 )，4个全等的直角三角形的面积的和(朱实四) 加上中间小正方形的面积(黄实) 等于大正方形的面积(弦实)”. 若弦图中“弦实”为16，“朱实一”为 $2 \sqrt{3}$ ，现随机向弦图内投入一粒黄豆(大小忽略不计)，则其落入小正方形内的概率为（）

A、 $1 - \frac{\sqrt{3}}{8}$ B、 $\frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

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9. 圆 $A$ 的半径为4，圆心为 $A (- 1 ， 0) ， B (1 ， 0)$ 是圆 $A$ 内一个定点， $P$ 是圆上任意一点，线段 $B P$ 的垂直平分线与半径 $A P$ 相交于点 $Q$ ，当点 $P$ 在圆上运动时，点 $Q$ 的轨迹方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ B、 $x^{2} + y^{2} = 16$ C、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ D、 ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 16$

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10. 已知 $P$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 上的一个点，点M，N分别为圆 $(x + 3)^{2} + y^{2} = 1$ 和圆 $(x - 3)^{2} + y^{2} = 4$ 上的动点，则 $| P M | + | P N |$ 的最小值为（）

A、6 B、7 C、10 D、13

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11. 双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 且斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线与双曲线的左右两支分别交于P、Q两点，若 $| Q P | = | Q F_{2} |$ ，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\sqrt{7}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $\frac{\sqrt{13} + 1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{13} - 1}{2}$

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12. 椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，弦 $A B$ 过 $F_{1}$ ，若 $Δ A B F_{2}$ 的内切圆面积为 $π$ ， $A ， B$ 两点的坐标分别为 $(x_{1} ， y_{1})$ 和 $(x_{2} ， y_{2})$ ，则 $| y_{1} - y_{2} |$ 的值为（）

A、6 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{9}{2}$ D、3

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二、填空题

13. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 20$ ， $a_{n + 1} - a_{n} = 2 n$ ，则通项 $a_{n} =$ .

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14. 若 $a$ ， $b \in {- 1 ， 1 ， 2}$ ，则函数 $f (x) = a x^{2} + 2 x + b$ 有零点的概率为.

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15. 在面积为4的正方形 $A B C D$ 中， $M$ 是线段 $A B$ 的中点，现将图形沿 $M C ， M D$ 折起，使线段 $M A ， M B$ 重合，得到一个四面体 $A - C D M$ （其中点B重合于点A），则该四面体外接球的表面积为．

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16. 边长为1的正方体 $A B C D - A B C D$ ，点P为面对角线 $C D$ 上一点，则 $A P + B P$ 的最小值为

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三、解答题

17. 已知直线 $l_{1}$ 的方程为 $3 x + 4 y - 12 = 0$ ，分别求直线 $l_{2}$ 的方程，使得：

(1)、 $l_{2}$ 与 $l_{1}$ 平行，且过点 $(- 1 ， 3)$ ；

(2)、 $l_{2}$ 与 $l_{1}$ 垂直，且 $l_{2}$ 与两坐标轴围成的三角形面积为6.

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18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{3} = 7$ ， $a_{5} + a_{7} = 26$ ． ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ．
（Ⅰ）求 $a_{n}$ 及 $S_{n}$ ；
（Ⅱ）令 $b_{n} = \frac{1}{{a_{n}}^{2} - 1}$ （ $n \in N_{}$ ），求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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19. 如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，D，E分别是AB， $B B_{1}$ 的中点．

(1)、证明： $B C_{1} / /$ 平面 $A_{1} C D$ ．

(2)、设 $A A_{1} = A C = C B = 2$ ， $A B = 2 \sqrt{2}$ ，求三棱锥 $A_{1} - C D E$ 的体积．

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20. 已知函数 $f (x) = c o s (2 x - \frac{2 π}{3}) - c o s 2 x (x \in R)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期及单调递增区间；

(2)、 $△ A B C$ 内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若 $f (\frac{B}{2}) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $b = 1$ ， $c = \sqrt{3}$ ，且 $a > b$ ，求角B和角C．

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21. 已知直线l过定点 $A (2 ， - 1)$ ，圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 8 x - 6 y + 21 = 0$ ．

(1)、若 $l$ 与圆 $C$ 相切，求l的方程；

(2)、若 $l$ 与圆 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，求 $Δ C M N$ 面积的最大值，并求此时 $l$ 的直线方程．

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22. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥底面ABCD， $∠ A B C = 60^{\circ}$ ， $A B = \sqrt{3}$ ， $A D = 2 \sqrt{3}$ ， $A P = 3$ ．

(1)、求证：平面PCA⊥平面PCD；

(2)、设E为侧棱PC上的一点，若直线BE与底面ABCD所成的角为45°，求二面角 $E - A B - D$ 的余弦值．

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