河南省名校联盟2021-2022学年高三上学期理数12月考试卷

试卷更新日期：2022-01-08 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知命题 $p ： \exists x_{0} > 3$ ， $l o g_{3} x_{0} \leq 1$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\exists x_{0} > 3$ ， $l o g_{3} x_{0} > 1$ B、 $\exists x_{0} < 3$ ， $l o g_{3} x_{0} > 1$ C、 $\forall x > 3$ ， $l o g_{3} x \leq 1$ D、 $\forall x > 3$ ， $l o g_{3} x > 1$

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2. 已知复数z满足 $(4 + 3 i) (z + i) = 25$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、4 C、 $4 \sqrt{2}$ D、32

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3. 已知集合 $A = {x | x = 3 n + 1 ， n \in N}$ ， $B = {x | x = 2 n + 1 ， n \in N}$ ，则下列集合为 $A ∩ B$ 的子集的是（）

A、 ${1 ， 7 ， 13 ， 19}$ B、 ${1 ， 5 ， 7 ， 11 ， 13}$ C、 ${1 ， 3 ， 5 ， 9 ， 11}$ D、 ${1 ， 3 ， 5 ， 7 ， 9 ， 11}$

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4. 某同学用一个半径为 $100 \sqrt{10}$ mm，圆心角为 $\frac{\sqrt{10} π}{5}$ 的扇形铁片卷成了一个简易的圆锥形状的容器（接缝处忽略不计），口朝上放在院子中间接雨水来测量降雨量（容器不漏），24h所收集的雨水的高度达到容器高度的一半，然后将这些雨水倒入底面半径为100mm的圆柱形量杯3中，则量杯中水面高度为（）

A、37.5mm B、25mm C、15mm D、12.5mm

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5. 若x，y满足不等式组 ${\begin{array}{l} x \leq 4 ， \\ x - 2 y + 4 \geq 0 ， \\ x + y - 2 \geq 0 ， \end{array}$ 则 $z = 2 x + y$ 的最大值为（）

A、6 B、8 C、12 D、16

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6. 圆 $C_{1} ： {(x - 5)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 16$ 与曲线 $C_{2} ： (x - 1) (3 x + 4 y - 20) = 0$ 的公共点的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面是边长为2的等边三角形，异面直线 $A B_{1}$ 与 $A_{1} C_{1}$ 所成的角的余弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ，则该三棱柱的高为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、4

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8. 已知函数 $f (x) = x^{2} + p x - q (p ， q \in N^{*})$ 有两个不同的零点 $a$ 、 $b$ ，若 $a$ 、 $b$ 、-2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 $q - p =$ （）

A、36 B、28 C、9 D、-1

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9. 已知人的血压在不断地变化，心脏每收缩和舒张一次构成一个心动周期，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压.已知某人某次测量自己的血压得到收缩压为126mmHg，舒张压为78mmHg，心动周期约为0.75s，假设他的血压 $p (m m H g)$ 关于时间 $t (s)$ 近似满足函数式 $p (t) = b + a s i n ω t (ω > 0)$ ，当 $t \in [0 ， 0.75]$ 时，此人的血压在 $[90 ， 114] m m H g$ 之间的时长约为（）

A、0.125s B、0.25s C、0.375s D、0.5s

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10. 已知抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (0 < p < 6)$ 的焦点为F，P为C上一点，点 $A (3 ， 0)$ ， $B (1 ， - 2)$ ，设 $∠ A B P$ 取最小值和最大值时对应的点分别为 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ，且 $\vec{B P_{1}} \cdot \vec{B P_{2}} = 0$ ，则 $p =$ （）

A、4 B、3 C、2 D、1

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11. 下列各组x，y的值满足 $x^{2} - y^{2} < 2 (2 l o g_{4} y - l o g_{2} x)$ 的是（）

A、 $x = e^{3}$ ， $y = 3^{e}$ B、 $x = e^{π}$ ， $y = π^{e}$ C、 $x = 3^{π}$ ， $y = π^{3}$ D、 $x = 3^{e}$ ， $y = e^{π}$

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12. 在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，四边形 $A B C D$ 是边长为2的菱形， $∠ D A B = 60 °$ ， $A A_{1} = 1$ ， $c o s ∠ D A A_{1} = c o s ∠ B A A_{1} = \frac{1}{4}$ ，则下列结论中正确的个数为（）
① $A_{1} C ⊥ D B$ ；② $A_{1} C = \sqrt{11}$ ；③ $A_{1} C ⊥$ 平面 $B_{1} B D D_{1}$ ；④四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积为 $\sqrt{11}$ .

A、4 B、3 C、2 D、1

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x) = x^{3} c o s (x + \frac{n}{2} π)$ 为偶函数，且当 $x \in (0 ， π)$ 时， $f (x) > 0$ ，则 $n$ 的值可能为.

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14. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} (- c ， 0)$ ， $F_{2} (c ， 0)$ ，点 $A (0 ， \sqrt{3} c)$ ，且线段 $F_{2} A$ 的中点在 $C$ 的渐近线上，当点 $P$ 在 $C$ 的右支上运动时， $| P F_{1} | + | P A |$ 的最小值为6，则双曲线 $C$ 的实轴长为.

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15. 已知点A，B是 $⊙ O$ 上的两个点， $∠ A O B = θ (0 < θ < \frac{π}{2})$ ，点C为劣弧 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点，若 $s i n θ + s i n (θ + \frac{π}{3}) = \sqrt{3}$ ， $\vec{O C} = x \vec{O A} + y \vec{O B}$ ，则 $x + y =$ ．

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16. 已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x$ 的图象在点 $(1 ， 1)$ 处的切线方程为 $2 x - y - 1 = 0$ ，则函数 $h (x) = {[f (x)]}^{3} + f (x) - 2 x$ 的零点个数为.

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三、解答题

17. 如图所示，在圆内接四边形ABCD中，M为对角线AC的中点， $B C = 3$ ， $B M = 3 \sqrt{2}$ ， $A D = \sqrt{11}$ ， $c o s ∠ A B C = \frac{1}{3}$ ．

(1)、求AB；

(2)、求 $s i n ∠ A C D$ ．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n} = 2 a_{n} - 1$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = a_{1}$ ， $b_{n + 1} = 2 a_{n} + 3 b_{n}$ ，求 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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19. 如图所示，在四棱锥 $A - B C D E$ 中， $C D ∥ E B$ ， $C D = 2 D E = 2 B E = 2 B C = 2$ ， $△ A D E$ 为等边三角形， $A C = 2$ ， $F$ 为棱 $A C$ 的中点.

(1)、证明： $C E ⊥ B F$ ；

(2)、求平面 $A D E$ 与平面 $B D F$ 所成的锐二面角的余弦值.

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20. 某地准备在山谷中建一座桥梁，桥梁及山谷的竖直截面图如图所示，谷底为点O， $O O$ 为铅垂线（ $O$ 在桥梁AB上）．以O为原点建立直角坐标系，左侧山体曲线AO的方程为 $y = \frac{1}{49} x^{2} - \frac{1}{7} x (- 70 \leq x \leq 0)$ ，右侧山体曲线BO的方程为 $y = - \frac{1}{675} x^{3} + 5 x (0 \leq x \leq 30)$ ，其中x，y的单位均为m．现在谷底两侧建造平行于 $O O$ 的桥墩CD和EF，其中C在线段 $O^{^{'}} A$ 上，E在线段 $O B$ 上，且 $O E = 15$ m， $C D = 2 E F$ ．

(1)、求CE的长；

(2)、为了增加桥梁的结构强度，要在桥梁上的C，E之间找一点P，修建两个支撑斜柱DP和FP，当 $∠ D P F$ 最大时，求CP的长．（结果精确到0.1m，参考数据： $\sqrt{82} \approx 9.06$ ）

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 1)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是C的左、右焦点，P是C上在第一象限内的一点， $F_{1}$ 关于直线 $P F_{2}$ 对称的点为M， $F_{2}$ 关于直线 $P F_{1}$ 对称的点为N．

(1)、证明： $| M N | \leq 4$ ；

(2)、设A，B分别为C的右顶点和上顶点，直线 $y = k x (k > 0)$ 与椭圆C相交于E，F两点，求四边形AEBF面积的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = a l n x + x - 1 (a \in R)$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $y = f (e^{x}) - a x + 1$ 与 $y = e^{a} (l n x + a)$ 的图像有两个不同的公共点，求 $a$ 的取值范围.

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