广西“智桂杯”2022届高三上学期理数大数据精准诊断性大联考试卷

试卷更新日期：2022-01-08 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | | x | < 3}$ ， $B = {- 3 ， - 2 ， 0 ， 2 ， 3}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 2 ， 2}$ B、 ${- 2 ， 0}$ C、 ${- 2 ， 0 ， 2}$ D、 ${- 3 ， - 2 ， 0 ， 2 ， 3}$

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2. 已知复数 $z = \frac{i}{1 - i}$ ，则 $z$ 在复平面上对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 在平面直角坐标系中，若角 $α$ 的顶点在原点，始边在 $x$ 轴的正半轴，终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是（）

A、 $s i n (α - \frac{π}{2})$ B、 $c o s (α + \frac{π}{2})$ C、 $s i n (π + α)$ D、 $- c o s (π - α)$

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4. 下列命题是真命题的是（）

A、有甲､乙､丙三种个体按 $3 ： 1 ： 2$ 的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30 B、若甲组数据的方差为5，乙组数据的方差为7，则这两组数据中较稳定的是乙 C、数据1，2，3，4，4，5的平均数､中位数相同 D、数据1，2，2，2，3，4，4，4，5，5，6的众数是2和4

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5. 某几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则该几何体的体积为（）

A、6 B、9 C、18 D、36

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6. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 均为单位向量，若 $| \vec{a} - 2 \vec{b} | = \sqrt{3}$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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7. 椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的焦点为 $F_{1} ， F_{2}$ ，点 $P$ 在椭圆上，若 $| P F_{2} | = 2$ ，则 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的大小为（）

A、 $150 °$ B、 $135 °$ C、 $120 °$ D、 $90 °$

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8. 被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式： $C = W l o g_{2} (1 + \frac{S}{N})$ ，其中 $C$ 为最大数据传输速率，单位为 $b i t / s$ ； $W$ 为信道带宽，单位为 $H z$ ； $\frac{S}{N}$ 为信噪比.香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用.当 $\frac{S}{N} = 99$ ， $W = 2000 H z$ 时，最大数据传输速率记为 $C_{1}$ ；在信道带宽不变的情况下，若要使最大数据传输速率翻一番，则信噪比变为原来的多少倍（）

A、2 B、9 C、99 D、101

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9. 已知定点 $B (3, 0)$ ，点 $A$ 在圆 ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 4$ 上运动，则线段 $A B$ 的中点 $M$ 的轨迹方程是（）

A、 ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 1$ B、 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ C、 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ D、 ${(x + 2)}^{2} + y^{2} = 4$

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10. 函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示， $f (x)$ 的图象与 $y$ 轴交于 $M$ 点，与 $x$ 轴交于 $C$ 点，点 $N$ 在 $f (x)$ 的图象上，点 $M$ ､ $N$ 关于点 $C$ 对称，则下列说法中正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在区间 $(\frac{4 π}{3} ， \frac{3 π}{2})$ 上单调递减 B、函数 $f (x)$ 的最小正周期是 $2 π$ C、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{5 π}{6}$ 对称 D、函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 后，得到函数 $g (x)$ 的图象，则 $g (x)$ 为偶函数

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11. 甲､乙､丙､丁4人站到共有4级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是（）

A、204 B、84 C、66 D、60

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12. 已知关于 $x$ 的函数 $f (x) = b x^{2} - 2 b x + | x - 1 | + b^{2} + b - 4$ 有唯一零点 $x = a$ ，则 $a + b =$ （）

A、-1 B、3 C、-1或3 D、4

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二、填空题

13. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足 ${\begin{array}{l} 2 x - y \geq 4 \\ x + 2 y \leq 4 \\ y \leq 0 \end{array}$ ，则 $z = 3 x - 2 y$ 的最小值是．

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14. 已知 $△ A B C$ ，点 $D$ 在 $B C$ 的延长线上，且 $A B = A C = 2$ ， $C D = 1$ ， $A D = \sqrt{7}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为.

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15. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ､ $F_{2}$ ，点 $P$ 在双曲线上， $△ P F_{1} F_{2}$ 的内切圆圆心为 $I$ ，且满足 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = \vec{P I} \cdot \vec{P F_{1}}$ ， $P F_{2} ⊥ F_{1} F_{2}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为.

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16. 已知正四面体 $P - A B C$ 的棱长为 $3 \sqrt{2}$ ，点 $D ， E ， F$ 分别为 $P A ， P B ， P C$ 上靠近 $P$ 的三等分点，平面 $D E F$ 截正四面体 $P - A B C$ 的外接球所得截面的面积为.

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三、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{5} = 9$ ， $a_{4} + a_{8} = 22$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、等比数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $b_{1} = a_{1}$ ，再从下面①②③中选取两个作为条件，求满足 $S_{n} < 2021$ 的 $n$ 的最大值.
① $b_{3} = a_{1} + a_{2}$ ；② $S_{3} = 7$ ；③ $b_{n + 1} > b_{n}$ .
（注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.）

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18. 某网站统计了某网红螺蛳粉在2020年7月至11月的总销售量 $y$ （单位：万），得到以下数据：
月份 $x$
7
8
9
10
11
销售量 $y$
10
12
11
12
20
（参考公式：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ .参考数据： $\sqrt{10} \approx 3.162$ ，线性回归方程： $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ）
$K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
临界值表：
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.010
0.005
0.001
$k_{0}$
6.635
7.879
10.828

(1)、根据表中所给数据，用相关系数 $r$ 加以判断，是否可用线性回归模型拟合 $y$ 与 $x$ 的关系？若可以，求出 $y$ 关于 $x$ 之间的线性回归方程；若不可以，请说明理由；

(2)、为调查顾客对该网红螺蛳粉的喜欢情况，随机抽查了200名顾客，得到如下列联表，请填写下面的 $2 \times 2$ 列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“顾客是否喜欢该网红螺蛳粉与性别有关”.

喜欢
不喜欢
总计
男
100
女
60
总计
110

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19. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $B C ⊥ C D$ ， $B C = C D = P D = 2$ ， $A B = 4$ ，侧面 $P A B$ 是以 $A B$ 为斜边的等腰直角三角形.

(1)、求证： $C D ⊥ P D$ ；

(2)、作出平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 的交线 $m$ ，并求直线 $m$ 与平面 $P A B$ 所成角的大小.

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20. 如图，已知抛物线： $C ： x^{2} = y$ ， $M (0 ， 1)$ ， $N (0 ， - 1)$ ，过点 $M$ 垂直于 $y$ 轴的垂线与抛物线 $C$ 交于 $B$ ， $C$ ，点 $D$ ， $E$ 满足 $C E = λ C N$ ， $N D = λ N B (0 < λ < 1)$ .

(1)、求证：直线 $D E$ 与抛物线有且仅有一个公共点；

(2)、设直线 $D E$ 与此抛物线的公共点为 $Q$ ，记 $△ B C Q$ 与 $△ D E N$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值.

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21. 已知函数 $f (x) = e^{a x} - x$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处切线的斜率为1，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若不等式 $a (f (x) + x + 1) \geq 2 (x + \frac{1}{x}) l n x$ 对 $x \in (0 ， + \infty)$ 都成立，求 $a$ 的取值范围.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知曲线 $E$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \sqrt{3} c o s α \\ y = \sqrt{3} s i n α + 3 \end{array}$ （ $α$ 为参数），直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = t c o s β \\ y = t s i n β \end{array}$ （ $t$ 为参数， $0 \leq β ＜ π$ ）.以坐标原点为极点， $x$ 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.

(1)、求曲线 $E$ 和直线 $l$ 的极坐标方程；

(2)、直线 $l$ 与曲线 $E$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $\vec{O A} = 2 \vec{O B}$ ，求直线 $l$ 的斜率.

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23. 设函数 $f (x) = | x - 3 | - | x + 1 |$ .

(1)、解不等式 $f (x) < - 1$ ；

(2)、若 $f (x) \leq | x + a |$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	6.635	7.879	10.828

月份 $x$	7	8	9	10	11
销售量 $y$	10	12	11	12	20

	喜欢	不喜欢	总计
男			100
女		60
总计	110