高中数学人教A版（2019）选修二第四章数列

试卷更新日期：2022-01-07 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 在等比数列{a_n}中， $a_{1} = \frac{9}{8} ， a_{n} = \frac{1}{3} ， q = \frac{2}{3}$ ，则项数n为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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2. 已知等差数列{a_n}的首项a₁=4，公差d=-2，则通项公式为a_n=（）

A、4-2n B、2n-4 C、6-2n D、2n-6

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3. 数列{a_n}的前n项和为S_n ，若 $S_{n} = 3 n^{2} - 2 n - 1$ ，则a₅=（　　）

A、13 B、25 C、30 D、35

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4. 已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n ，且9S₃=S₆ ， a₂=1，则a₁=（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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5. 已知两个等差数列{a_n}和{b_n}的前n项和分别为A_n和B_n ，且 $\frac{A_{n}}{B_{n}} = \frac{5 n + 3}{n + 3}$ ，则 $\frac{a_{5}}{b_{5}}$ 的值（）

A、2 B、 $\frac{7}{2}$ C、4 D、5

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6. 在数列{a_n}中每相邻两项间插入3个数，使它们与原数列构成一个新数列，则新数列的第41项（）

A、不是原数列的项 B、是原数列的第10项 C、是原数列的第11项 D、是原数列的第12项

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7. 已知数列{a_n}的通项公式为a_n=26-2n．若使此数列的前n项和S_n最大，则n的值为（）

A、12 B、13 C、12或13 D、14

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8. 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，最上面4节的容积共3升，最下面3节的容积共4升，则从上往下数，第5节的容积为（）

A、1升 B、 $\frac{67}{66}$ 升 C、 $\frac{47}{44}$ 升 D、 $\frac{37}{33}$ 升

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二、多选题

9. 已知{a_n}是首项为1的等比数列，S_n是{a_n}的前n项和，且9S₃=s₆ ，则（）

A、q=2 B、S₉=2⁹-1 C、数列{ $\frac{1}{a_{n}}$ }的前5项和为 $\frac{31}{16}$ D、6S₃=S₉

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10. 设{a_n}是等差数列，S_n是前n项的和，且S₅<S₆ ， S₆=S₇>S₈ ，则（）

A、d>0 B、a，=0． C、S₉>S₅ D、S₆与S₇均为S_n的最大值

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11. 在《增减算法统宗》中有这样一则故事：三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．则下列说法正确的是（）

A、此人第三天走了二十四里路 B、此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里 C、此人第二天走的路程占全程的 $\frac{1}{4}$ D、此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍

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12. 对于数列{a_n}，若存在正整数 k(k≥2)，使得a_k<a_k-1 ， a_k<a_k+1 ，则称a_k是数列{a_n}的“谷值”，k是数列{a_n}的“谷值点”，在数列{a_n}中，若a_n= $| n + \frac{9}{n} - 8 |$ ，下面不能作为数列{a_n}的“谷值点”的是（）

A、3 B、2 C、7 D、5

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三、填空题

13. 已知等差数列{a_n}中，a₄=8，a₈=4，则其通项公式a_n=.

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14. 等比数列{a_n}共有2n项，它的全部项的和是奇数项的和的3倍，则公比q=.

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = - \frac{1}{9}$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $n (n + 1) (a_{n + 1} - a_{n}) + 11 a_{n} a_{n + 1} = 0$ ，则当 $S_{n}$ 取得最小值时， $n =$ .

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16. 如果数列{a_n}满足 $\frac{a_{n + 2}}{a_{n + 1}} - \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = k$ ，（k为常数）那么数列{a_n}叫做等比差数列，k叫做公比差，给出下列四个结论：
①若数列{a_n}满足 $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = 2 n$ ，则该数列是等比差数列；

②数列 ${n \cdot 2^{n}}$ 是等比差数列；

③所有的等比数列都是等比差数列；

④存在等差数列是等比差数列，

其中所有正确结论的序号是.

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四、解答题

17. 已知前n项和为S_n的数列{a_n}中，a₁=5.

(1)、若{a_n}是等比数列，S₃=35，求{a_n}的通项公式；

(2)、若{a_n}是等差数列，S₅=S₆ ，求S_n的最大值.

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18. 已知数列{b_n}满足 $b_{1} = 1 ， b_{n + 1} = \frac{1}{2} b_{n}$ .

(1)、求{b_n}的通项公式；

(2)、求b₂+b₄+b₆+…+b_2n的值.

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19. 已知等比数列{a_n}中， $a_{1} = \frac{1}{3}$ ，公比 $q = \frac{1}{3}$

(1)、S_n为数列{a_n}的前n 项和，证明： $S_{n} = \frac{1 - a_{n}}{2}$ ；

(2)、设 $b_{n} = \log_{3} a_{1} + \log_{3} a_{2} + \dots + \log_{3} a_{n}$ ，求数列{b_n}的通项公式.

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20. 设数列{a_n}的前n项和为S_n ，已知a₁=1，S_n+1=4a_n+2，且b_n=a_n+1-2a_n.

(1)、求证：数列{b_n}是等比数列；

(2)、求数列{a_n}的通项公式.

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 满足 $a_{1} = - 2 b_{1} = 4$ ，且 ${a_{n}}$ 是公差为1的等差数列， ${a_{n} + b_{n}}$ 是公比为2的等比数列.

(1)、求 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 ${| b_{n} |}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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22. 设p为实数．若无穷数列{a_n}满足如下三个性质，则称{a_n}为R_P数列：
：① $a_{1} + p \geq 0$ ， $a_{2} + p = 0$ ；
② $a_{4 n - 1} < a_{4 n} (n = 1 ， 2 ， \dots)$ ；
③ $a_{m + n} \in {a_{m} + a_{n} + p ， a_{m} + a_{n} + p + 1}$ （m=1，2，…；n=1，2，…）．

(1)、如果数列{a_n}的前4项2，-2，-2，-1的数列，那么{a_n}是否可以为 $R_{2}$ 数列？说明理由；

(2)、若数列 ${a_{n}}$ 是 $R_{0}$ 数列，求 $a_{5}$ ；

(3)、设数列{a_n}的前n项和为S_n ，是否存在 $R_{p}$ 数列 ${a_{n}}$ ，对 $S_{n} \geq S_{10}$ 恒成立？若存在，求出所有这样的p；若不存在，说明理由．

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一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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