2022年高考数学二轮选择填空题型 11 三角函数的综合应用

试卷更新日期：2022-01-05 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 已知 $c o s α = - \frac{\sqrt{5}}{5} (0 < α < π)$ ，则 $t a n (α + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、-3 D、3

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2. 已知曲线C₁：y = cosx，C₂∶ $y = s i n (2 x + \frac{5 π}{6})$ ，则下面结论正确的是（　　）

A、把C₁上各点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，再把所得曲线向左平移 $\frac{5 π}{12}$ 个单位长度，得到曲线C₂ B、把C₁上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移 $\frac{5 π}{6}$ 个单位长度，得到曲线C₂ C、把C₁上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到曲线C₂ D、把C₁上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，得到曲线C₂

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3. 已知 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{6}) + \cos ω x$ （ $ω > 0$ ），将 $f (x)$ 图象上的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变时），得到 $g (x)$ 的图象． $g (x)$ 的部分图象如图所示（ $D$ 、 $C$ 分别为函数的最高点和最低点）：其中 $\vec{C A} \cdot \vec{C B} = \frac{{| \vec{A D} |}^{2}}{2}$ ，则 $ω =$ （）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、π D、2π

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4. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且BC边上的高为 $\frac{\sqrt{3}}{6} a$ ，则角A的取值范围为（）

A、 $(0 ， \frac{π}{2})$ B、 $(\frac{π}{6} ， \frac{π}{3})$ C、 $(0 ， \frac{2 π}{3}]$ D、 $[\frac{π}{3} ， \frac{2 π}{3}]$

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5. 如图所示的曲线为函数 $f (x) = A \cos (ω x - φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的部分图象，将 $y = f (x)$ 图象上的所有点的横坐标伸长到原来的 $\frac{3}{2}$ ，再将所得曲线向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，则（）

A、函数 $g (x)$ 在 $[\frac{5 π}{24} ， \frac{13 π}{24}]$ 上单调递减 B、点 $(\frac{3 π}{8} ， 0)$ 为 $g (x)$ 图象的一个对称中心 C、直线 $x = \frac{π}{2}$ 为 $g (x)$ 图象的一条对称轴 D、函数 $g (x)$ 在 $[\frac{3 π}{4} ， π]$ 上单调递增

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二、多选题

6. 设函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{5})$ （ $ω > 0$ ），若 $f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 有且仅有5个极值点，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(0 ， π)$ 有且仅有3个极大值点 B、 $f (x)$ 在 $(0 ， π)$ 有且仅有4个零点 C、 $ω$ 的取值范围是 $[\frac{43}{10} ， \frac{53}{10})$ D、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{20})$ 上单调递增

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7. 下列函数周期为π，又在 $（ 0 ， \frac{π}{4} ）$ 上单调递增的是（）

A、 $y = \sin (2 x + \frac{π}{6})$ B、 $y = | \sin (x + \frac{π}{4}) |$ C、 $y = \cos | 2 x |$ D、 $y = | \tan x |$

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8. 函数 $f (x) = \sin x \sin (x + \frac{π}{3}) - \frac{1}{4}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ ，则 $f (x)$ 的值域为 $[- \frac{1}{4} ， \frac{1}{2}]$ B、函数 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ 上为增函数 C、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{12} ， - \frac{1}{4})$ 对称 D、函数 $f (x)$ 的图象可以由 $g (x) = \frac{1}{2} \cos 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度得到

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9. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (\frac{π}{12} + x) = f (\frac{π}{12} - x)$ C、 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{2} ， π]$ 上单调递增 D、 $f (x - \frac{π}{6})$ 为奇函数

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10. 已知 $θ \in (0 ， π)$ ， $\sin θ + \cos θ = \frac{1}{5}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $θ \in (0 ， \frac{π}{2})$ B、 $\cos θ = - \frac{3}{5}$ C、 $\tan θ = - \frac{3}{4}$ D、 $\sin θ - \cos θ = \frac{7}{5}$

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三、填空题

11. 悬链线是平面曲线，是柔性链条或缆索两端固定在两根支柱顶部，中间自然下垂所形成的外形，在工程中（如悬索桥、双曲拱桥、架空电缆）有广泛的应用.当微积分尚未出现时，伽利略猜测这种形状是抛物线，直到1691年莱布尼兹和伯努利利用微积分推导出悬链线的方程 $y = \frac{c}{2} (e^{\frac{x}{c}} \pm e^{- \frac{x}{c}})$ ，其中 $c$ 为参数.当 $c = 1$ 时，我们可构造出双曲函数：双曲正弦函数 $s i n h (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ 和双曲余弦函数 $c o s h (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ，则函数 $y = c o s h (2 x) + s i n h (x)$ 的最小值为.

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12. 水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点 $A (1 ， - \sqrt{3})$ 出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时6秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为 $(x ， y)$ ，其纵坐标满足 $y = f (t) = R sin (ω t + φ) (t \geq 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ ，则当 $t \in [0 ， m)$ 时，函数f(t)恰有2个极大值，则m的取值范围是．

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13. 存在正数m，使得方程 $\sqrt{3} \sin x - \cos x = m$ 的正根从小到大排成一个等差数列.若点A(1，m)在直线 $a x + b y - 2 = 0$ (a＞0，b＞0)上，则 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值为.

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14. 已知 $\sqrt{3} \sin θ - \cos θ = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，则 $\cos (θ + \frac{π}{3}) =$ ．

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15. 已知函数 $f (x) = \cos (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 与函数 $y = g (x)$ 的部分图像如图所示，且函数 $f (x)$ 的图象可由函数 $y = g (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度得到，则 $φ =$ ， $g (0) =$ .

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16. 已知 $\cos (\frac{π}{6} - x) = \frac{1}{3}$ ，则 $\cos (\frac{5 π}{6} + x) - \sin^{2} (x - \frac{π}{6}) =$ ．

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17. 函数 $f (x) = 3 \sin (ω x + φ)$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ 的图象过点 $(0 ， \frac{3}{2})$ ，且在 $(\frac{π}{4} ， \frac{π}{3})$ 上单调递增，则 $ω$ 的最大值为.

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18. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < π$ ）图象上的一个最高点是 $(2 ， \sqrt{2})$ ，这个最高点到其相邻的最低点间图象与 $x$ 轴交于点 $(4 ， 0)$ .设 $a_{n} = f (n)$ $(n \in N^{*})$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的前2021项和为.

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19. $f (x) = 2 \sin (x + \frac{π}{3})$ 的单调递增区间为.

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20. 已知角 $α$ 、 $β$ 的顶点在原点，始边在x轴的非负半轴上，它们的终边与单位圆分别相交于 $A (- \frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ， $B (\frac{2 \sqrt{2}}{3} ， \frac{1}{3})$ 两点，则 $\sin (α + β) =$ ．

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2022年高考数学 二轮 选择填空题型 11 三角函数的综合应用

一、单选题

二、多选题

三、填空题

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