2022年高考数学二轮选择填空题型 07 平面向量

试卷更新日期：2022-01-05 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 在 $△ A B C$ 中， $B C$ 边上的点 $D$ 满足 $\vec{C D} = 2 \vec{D B}$ ，设 $\vec{A C} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ，则 $\vec{A B} =$ （）

A、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{3}{2} \vec{b}$ C、 $\frac{5}{2} \vec{a} - \frac{3}{2} \vec{b}$ D、 $\frac{3}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}$

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2. 在平行四边形ABCD中，点E为CD中点，点F满足 $\overset{⇀}{A F} = 2 \overset{⇀}{F D} ， \overset{⇀}{E F} = x \overset{⇀}{A C} + y \overset{⇀}{A B}$ ，则 $x + y =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{4}$ D、 $- \frac{2}{5}$

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3. 如图，在△ABC中， $∠ B A C ＝ \frac{π}{3}$ ， $\vec{A D} = 2 \vec{D B}$ ，P为CD上一点，且满足 $\vec{A P} ＝ m \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{A B}$ ，若 $A C = 3 ， A B = 4$ ，则 $\vec{A P} \cdot \vec{C D}$ 的值为（）

A、 $\frac{12}{5}$ B、 $\frac{12}{13}$ C、 $\frac{13}{12}$ D、 $- \frac{13}{12}$

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4. 若向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (0 ， 1)$ ， $k \vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 共线，则实数k的值为（）

A、-1 B、 $- \frac{1}{2}$ C、1 D、2

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5. 已知 $\vec{A B_{1}} ⊥ \vec{A B_{2}}$ ， $| O B_{1} | = | O B_{2} | = 1$ ， $\vec{A P} = \vec{A B_{1}} + \vec{A B_{2}}$ ， $| \vec{O P} | < \frac{1}{2}$ ，则 $| \vec{O A} |$ 的取值范围（）

A、 $(\frac{\sqrt{7}}{3} ， \sqrt{3})$ B、 $(\frac{\sqrt{7}}{2} ， \sqrt{2}]$ C、 $(\frac{\sqrt{7}}{3} ， \sqrt{2}]$ D、 $(\frac{\sqrt{5}}{2} ， \sqrt{3}]$

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二、多选题

6. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (\sqrt{3} ， t)$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $\vec{a}$ $∥$ $\vec{b}$ ，则 $t = 3$ B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $t = - 1$ C、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为120°，则 $t = 0$ 或 $t = - 3$ D、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为锐角，则 $t > - 1$

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7. 下列命题中，正确的有（）

A、 $\vec{n_{1}}$ ， $\vec{n_{2}}$ 分别是平面 $α$ ， $β$ 的法向量，若 $α / / β$ ，则 $\vec{n_{1}} / / \vec{n_{2}}$ B、 $\vec{n_{1}}$ ， $\vec{n_{2}}$ 分别是平面 $α$ ， $β$ 的法向量，若 $\vec{n_{1}} \cdot \vec{n_{2}} = 0$ ，则 $α ⊥ β$ C、 $\vec{n}$ 是平面 $α$ 的法向量， $\vec{a}$ 是直线 $l$ 的方向向量，若 $\vec{n} \cdot \vec{a} = 0$ ，则 $l / / α$ D、 $\vec{n}$ 是平面 $α$ 的法向量， $\vec{a}$ 是直线 $l$ 的方向向量，若 $〈 \vec{n} ， \vec{a} 〉 = 120 °$ ，则 $l$ 与平面 $α$ 所成角为 $60 °$

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8. 设 $0 < θ < π$ ，非零向量 $\vec{a} = (\sin 2 θ ， \cos θ)$ ， $\vec{b} = (\cos θ ， 1)$ ，则（）

A、若 $\tan θ = \frac{1}{2}$ ，则 $\vec{a} // \vec{b}$ B、若 $θ = \frac{3 π}{4}$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ C、存在 $θ$ ，使 $2 \vec{a} = \vec{b}$ D、若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $\tan θ = \frac{1}{2}$

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9. 下列说法错误的是（）

A、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{a} = \vec{c}$ B、若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则存在唯一实数 $λ$ 使得 $\vec{a} = λ \vec{b}$ C、若 $\vec{a} // \vec{b}$ ， $\vec{b} // \vec{c}$ ，则 $\vec{a} // \vec{c}$ D、与非零向量 $\vec{a}$ 共线的单位向量为 $\pm \frac{\vec{a}}{| \vec{a} |}$

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10. 在平面直角坐标系中， $A (t ， \frac{2}{t})$ ， $B (8 - m ， 8 - \frac{3}{2} m)$ ， $C (7 - m ， 0)$ ， $O$ 为坐标原点， $P$ 为 $x$ 轴上的动点，则下列说法正确的是（）

A、 $| \vec{O A} |$ 的最小值为2 B、若 $t = 1$ ， $m = 4$ ，则 $Δ A B C$ 的面积等于4 C、若 $t = 1$ ， $m = 4$ ，则 $| \vec{P A} | + | \vec{P B} |$ 的最小值为5 D、若 $t = \sin θ$ ， $θ \in (0 ， π)$ ，且 $\vec{C A}$ 与 $\vec{C B}$ 的夹角 $α \in [0$ ， $\frac{π}{2})$ ，则 $m \in (- \infty ， 5)$

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三、填空题

11. 在 $△ A B C$ 中，已知 $D$ 是 $A B$ 边上一点，若 $3 \vec{A D} = 2 \vec{D B}$ ， $\vec{C D} = x \vec{C A} + y \vec{C B}$ ，则 $x - y =$ .

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12. 若向量 $\vec{a} = (x ， 2)$ ， $\vec{b} = (- 3 ， y)$ ， $\vec{c} = (- 1 ， - 2)$ ，且 $(\vec{a} - \vec{c}) ⊥ (\vec{b} + \vec{c})$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} |$ 的最小值为．

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13. 已知点 $M$ 在平面 $A B C$ 内， $O$ 为空间内任意一点，若 $\vec{M A} = - \frac{1}{4} \vec{O A} + \frac{1}{2} \vec{A B} + x \vec{O C}$ ，则 $x =$ ．

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14. 若点O和点F分别为椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则 $\vec{O P} \cdot \vec{F P}$ 的最大值为.

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15. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， - 2)$ ， $\vec{b} = (- 2 ， 1)$ ， $\vec{c} = (3 ， λ)$ .若 $\vec{c} / / (3 \vec{a} + \vec{b})$ ，则 $λ =$ .

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16. 设 $m$ ， $n \in R$ 向量 $\vec{b} = (m ， 0 ， 1)$ ， $\vec{a} = (\frac{1}{2} ， n ， \frac{1}{2})$ ， $\vec{c} = (1 ， - 2 ， 1)$ ，且 $\vec{b} ⊥ \vec{c}$ ， $\vec{a} // \vec{c}$ ，则 $| 2 \vec{a} + \vec{b} | =$ .

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17. 设向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 均为单位向量，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) \cdot (3 \vec{a} - 5 \vec{b}) =$ .

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18. 若向量 $\vec{a} = (2 ， 4)$ ， $| \vec{b} | = 5$ ， $| \vec{a} + \vec{b} | = 5 \sqrt{3}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值为.

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19. 已知对任意平面向量 $\vec{A B} = (x ， y)$ ，把 $\vec{A B}$ 绕其起点沿逆时针方向旋转 $θ$ 角得到向量 $\vec{A P} = (x \cos θ - y \sin θ ， x \sin θ + y \cos θ)$ ，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转 $θ$ 角得到点P.已知平面内点 $A (- \frac{3}{2} \sqrt{3} ， 2 \sqrt{3})$ ， $B (4 - \frac{3}{2} \sqrt{3} ， 3 + 2 \sqrt{3})$ ，把点B绕点A沿顺时针方向旋转 $\frac{π}{3}$ 后得到点P，则点P的坐标为.

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20. 已知向量 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是两个互相垂直的单位向量， $O$ 是坐标原点， $\vec{O A} = 3 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ， $\vec{O B} = 2 \vec{e_{1}} + k \vec{e_{2}} (k > 0)$ ，若 $△ O A B$ 是直角三角形，则实数 $k$ 的值为．

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