湖南省部分校2021-2022学年高二上学期数学12月联考试卷

试卷更新日期：2022-01-05 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设 $i z = 4 + 3 i$ ，则 $z =$ （）

A、 $4 + 3 i$ B、 $- 4 + 3 i$ C、 $3 - 4 i$ D、 $- 3 - 4 i$

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2. 下列结论正确的是（）

A、 $a$ ， $b$ ， $c$ 为实数，且 $a > b > 0$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、 $\forall x \in R$ ， $x + \frac{1}{x} \geq 2$ C、若x满足 $x^{2} - 3 x + 2 < 0$ ，则 $l o g_{2} x \in (2 ， 4)$ D、正数 $a$ ， $b$ 满足 $a + b = 1$ ，则 $0 < a b \leq \frac{1}{4}$

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3. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ ，直线 $l$ 过点 $A (- 2 ， 0)$ ，且与抛物线 $C$ 有且只有一个公共点，则满足条件的直线 $l$ 的条数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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4. 已知向量 $a$ ， $b$ 满足 $| a | = 1$ ， $| b | = 2$ ，且 $| a - b | = \sqrt{3}$ ，则 $a$ 与 $b$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{5 π}{6}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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5. 已知 $m ， n$ 为两条不同的直线， $α ， β$ 为两个不同的平面，给出下列4个命题：
①若 $m \subset α ， n / / α$ ，则 $m / / n$ . ②若 $m ⊥ α ， n / / α$ ，则 $m ⊥ n$ .
③若 $m ⊥ α ， m ⊥ β$ ， $α / / β$ . ④若 $m / / α ， n / / α$ ，则 $m / / n$ .
其中真命题的序号为

A、①② B、①④ C、③④ D、②③

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6. 数列 ${a_{n}}$ 中前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} = λ n^{2} + 2 n + 1 (λ \in R)$ ，若 ${a_{n}}$ 是递增数列，则 $λ$ 的取值范围为（）

A、 $(0 ， + ∞)$ B、 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ C、 $(1 ， + \infty)$ D、 $(- \frac{1}{2} ， + \infty)$

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7. 已知双曲线的左焦点为 $F_{1}$ ，右焦点为 $F_{2}$ ， $| F_{1} F_{2} | = 10$ ， $P$ 为双曲线右支上一点， $O$ 为坐标原点，满足 $| O P | = | O F_{1} |$ ，且 $| P F_{1} | \cdot | P F_{2} | = 25 \sqrt{3}$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2} + 1$ B、 $\sqrt{3} + 1$ C、2 D、 $\sqrt{5} + 1$

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8. 一个盒中装有大小相同的2个黑球，2个白球，从中任取一球，若是白球则取出来，若是黑球则放回盒中，直到把白球全部取出，则在此过程中恰有两次取到黑球的概率为

A、 $\frac{37}{216}$ B、 $\frac{37}{72}$ C、 $\frac{2}{9}$ D、 $\frac{2}{27}$

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二、多选题

9. 将函数 $f (x) = s i n (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度得到 $g (x)$ 图象，则下列判断正确的是（）

A、函数 $g (x)$ 在区间 $[\frac{π}{12} ， \frac{π}{2}]$ 上单调递增 B、函数 $g (x)$ 图象关于直线 $x = \frac{7 π}{12}$ 对称 C、函数 $g (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ 上单调递减 D、函数 $g (x)$ 图象关于点 $(\frac{π}{3} ， 0)$ 对称

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10. 已知直线 $l$ ： $(m - 1) x + (2 m - 1) y - 4 m + 4 = 0$ 和圆 $C$ ： ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ ，下列说法正确的是（）

A、直线 $l$ 恒过点 $(4 ， 0)$ B、圆 $C$ 被 $x$ 轴截得的弦长为 $2 \sqrt{3}$ C、当 $m = \frac{1}{2}$ 时，直线 $l$ 与圆 $C$ 相切 D、当 $\frac{1}{2} < m < \frac{7}{10}$ 时，直线 $l$ 与圆 $C$ 相交

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11. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，线段 $B_{1} D_{1}$ 上有两个动点E，F，且 $E F = \frac{1}{2}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、AC ⊥BE B、EF//平面ABCD C、△AEF的面积与△BEF面积相等 D、三棱锥A-BEF的体积为定值

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} - 2 x ， x < 0 \\ f (x - 2) ， x \geq 0 \end{array}$ ，以下结论正确的是（）

A、 $f (- 3) + f (2021) = - 2$ B、 $f (x)$ 在 $[4 ， 5]$ 上是增函数 C、若方程 $f (x) = k x + 1$ 恰有 $3$ 个实根，则 $k \in (- \frac{1}{2} ， - \frac{1}{4})$ D、若函数 $y = f (x) - b$ 在 $(- \infty ， 6)$ 上有 $8$ 个零点，则所有零点之和为 $10$

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三、填空题

13. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等差数列，若 $a_{2} + a_{8} = 10$ ，则 $a_{3} + a_{5} + a_{7} =$

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14. 若点 $A (- 2 ， m)$ 和 $B (m ， 4)$ 到直线 $x - y - 3 = 0$ 的距离相等，则 $m =$ .

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15. 被誉为“数学之神”的阿基米德（前287-前212），是古希腊伟大的物理学家､数学家､天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二.这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形､在平面直角坐标系中，已知直线 $l$ ： $y = 1$ 与抛物线 $C$ ： $y = x^{2}$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，则弦与抛物线 $C$ 所围成的封闭图形的面积为.

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16. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 底面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ ，底面为直角三角形， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 2$ ， $B C = 1$ ， $C C_{1} = \sqrt{3}$ ， $P$ 是 $B C_{1}$ 上一动点，则 $A_{1} P + P C$ 的最小值是.

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四、解答题

17. 已知空间三点 $A (0 ， 2 ， 3)$ ， $B (- 2 ， 1 ， 6)$ ， $C (1 ， - 1 ， 5)$ .

(1)、已知点 $D (2 ， 3 ， m)$ ，且 $\vec{A B} ⊥ \vec{C D}$ ，求 $m$ 的值；

(2)、求以 $B A$ ， $B C$ 为邻边的平行四边形的面积.

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18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{3} + a_{6} = 18$ ， $a_{4} - a_{2} = 4$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式及其前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(2)、记数列 ${\frac{1}{S_{n}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若 $T_{n} > \frac{99}{100}$ ，求 $n$ 的最小值.

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19. 为了了解学生参加体育活动的情况，某校对学生进行了随机抽样调查，其中一个问题是“你平均每天参加体育活动的时间是多少”，共有4个选项可供选择（）
A.1.5小时以上 B.1~1.5小时 C.0.5~1小时 D.0.5小时以下
下图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息解答以下问题.

(1)、求本次一共调查了多少名学生，并在图①中将选项 $B$ 对应的部分补充完整；

(2)、采用分层抽样的方法在 $C$ 组和 $D$ 组中共抽取8人，求 $C$ 组， $D$ 组各抽取的人数；

(3)、在（2）中抽取的8人中采用简单随机抽样的方法抽取2人，求这2人中至少有1人来自 $D$ 组的概率.

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20. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $| P A | = | B C | = 2$ ， $| P C | = 4$ ， $∠ A B C = 120 °$ ，点 $O$ 为棱 $A C$ 的中点.

(1)、证明： $B O ⊥$ 平面 $P A C$ .

(2)、求二面角 $A - P B - C$ 的余弦值.

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21. 已知直线 $l$ ： $(m + 2) x + (1 - 2 m) y + 4 m - 2 = 0$ 与圆 $C$ ： $x^{2} - 2 x + y^{2} = 0$ 交于 $M$ ， $N$ 两点.

(1)、求直线 $l$ 所过定点的坐标.

(2)、求 $m$ 的取值范围.

(3)、若 $O$ 为坐标原点，直线 $O M$ ， $O N$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，试问 $k_{1} + k_{2}$ 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

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22. 已知点 $M (1, \frac{\sqrt{2}}{2})$ 在椭圆上E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ），点 $N (\sqrt{2} a, 2 b)$ 为平面上一点，O为坐标原点．

(1)、当 $| O N |$ 取最小值时，求椭圆E的方程；

(2)、对（1）中的椭圆E，P为其上一点，若过点 $Q (2, 0)$ 的直线l与椭圆E相交于不同的两点S和T，且满足 $\overset{⇀}{O S} + \overset{⇀}{O T} = t \overset{⇀}{O P}$ （ $t \neq 0$ ），求实数t的取值范围．

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