广西河池市八校2021-2022学年高二上学期理数第二次联考试卷

试卷更新日期：2022-01-05 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 2 < l o g_{2} x < 0}$ ， $B = {x | x^{2} - 7 x - 8 \leq 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(\frac{1}{4} ， 1)$ B、 $[- 1 ， \frac{1}{4})$ C、 $(1 ， 8]$ D、 $[- 1 ， 8]$

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2. 高二某班共有学生45人，学号依次为1，2，3，…，45，现按学号用系统抽样的办法抽取一个容量为5的样本，已知学号为7，25，34的学生在样本中，那么该样本中还有两个学生的学号应为（）

A、16，43 B、16，44 C、15，43 D、15，44

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3. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， x)$ ， $\vec{b} = (5 ， 3)$ ，若 $| \vec{a} \cdot \vec{b} | = | \vec{a} | \times | \vec{b} |$ ，则实数 $x$ 的值为（）

A、-2 B、1或2 C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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4. 下列结论错误的是（）

A、“ $x = 2$ ”是“ $x^{2} - 4 x + 4 = 0$ ”的充要条件 B、若 $m \in R$ ，则方程 $x^{2} + x - m = 0$ 一定有实根是假命题 C、在 $△ A B C$ 中，若“ $A > B$ ”则“ $s i n A > s i n B$ ” D、命题 $p$ ：“ $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{2} - 2 x_{0} + 4 > 0$ ”，则 $\neg p$ ：“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 4 < 0$ ”

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5. 如果等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{6} = 11$ ，则 $S_{13} = 169$ ，则公差 $d =$ （）

A、2 B、1 C、3 D、0

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6. 在边长为3，4，5的三角形内部任取一点P，则点P到三个顶点距离都大于1的概率为（）

A、 $\frac{6 - π}{6}$ B、 $\frac{12 - π}{12}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{12}$

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7. 在正数等比数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{2} = \frac{1}{2}$ ， $a_{4} = \frac{1}{8}$ ，则该数列的前10项和为（）

A、 $2 - \frac{1}{2^{8}}$ B、 $2 - \frac{1}{2^{9}}$ C、 $2 - \frac{1}{2^{10}}$ D、 $2 - \frac{1}{2^{11}}$

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8. 已知直线 $l$ ： $y = k x + 4$ 与圆 $x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ 相交于A､B两点，M是线段AB的中点，则点M到直线 $4 x - 3 y - 6 = 0$ 的距离的最小值为（）

A、2 B、3 C、1 D、4

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9. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n (2 x - φ) - c o s (2 x - φ) (| φ | < \frac{π}{2})$ 是偶函数，则 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ 上的值域是（）

A、 $(- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2})$ B、 $(- 2 ， 1]$ C、 $(\frac{1}{2} ， 1]$ D、 $[- 2 ， 1]$

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10. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若 $a^{2} + b^{2} = 2 c^{2}$ ，则角C的最大值是（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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11. 指数函数 $f (x) = a^{x} (a > 0 ， a \neq 1)$ 在 $R$ 上是减函数，则函数 $g (x) = (a - 2) x^{- 1}$ 在 $R$ 上的单调性为（）

A、单调递减 B、在 $(0 ， + \infty)$ 上递增，在 $(- \infty ， 0)$ 上递减 C、单调递增 D、在 $(0 ， + \infty)$ 上递增，在 $(- \infty ， 0)$ 上递增

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12. 若 $c > b > a > 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a^{b} b^{c} < a^{c} b^{a}$ B、 $2 l g b = l g a + l g c$ C、 $l o g_{a} c < l o g_{b} c$ D、 $a - \frac{c}{a} < b - \frac{c}{b}$

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二、填空题

13. 若 $α$ 为锐角，且 $c o s^{2} α - s i n 2 α = \frac{3}{10}$ ，则 $t a n α =$ .

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $S_{n} = \frac{n + 1}{2} a_{n}$ ，则该数列的通项公式是.

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15. 已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) = - f (x)$ ，则 $f (6)$ 的值为.

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16. 已知钝角三角形的三边a=k，b=k+2，c=k+4，则k的取值范围是.

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三、解答题

17. 设 $p$ ：实数 $x$ 满足 $x^{2} - 3 a x - 4 a^{2} < 0 (a > 0)$ ； $q$ ：实数 $x$ 满足 $2 < x \leq 6$ .

(1)、若 $a = 1$ ， $p \land q$ 为真，求 $x$ 的取值范围；

(2)、若 $\neg p$ 是 $\neg q$ 的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $A = 2 C$ ， $a + c = 2 b$ ，求此三角形的三边之比.

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19. 如图在三棱锥 $P - A B C$ 中， $D ， E ， F$ 分别为棱 $P C ， A C ， A B$ 的中点，已知 $P A ⊥ A C ， P A = 6 ， B C = 8 ， D F = 5$ ，
求证：

(1)、直线 $P A / /$ 平面 $D E F$ ；

(2)、平面 $B D E$ $⊥$ 平面 $A B C$ .

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20. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = 1$ ，公差 $d > 0$ ，且 $a_{2}$ ， $a_{5}$ ， $a_{14}$ 成等比数列，设 $b_{n} = \frac{1}{n (a_{n} + 3)}$ ， $(n \in N^{*})$ ， $S_{n} = b_{1} + b_{2} + \cdot \cdot \cdot + b_{n}$ ，问是否存在最大正整数 $t$ ，使 $S_{n} > \frac{t}{36}$ 恒成立，若存在，求出该数 $t$ ；若不存在，请说明理由.

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21. 设f(x)＝ax²＋bx，且1≤f(－1)≤2，2≤f (1)≤4，求f(－2)的取值范围．

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22. 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．

(1)、当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；

(2)、当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．

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