广东省揭阳市惠来县西片区联考2021-2022学年九年级上学期12月月考数学试题

试卷更新日期：2022-01-04 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（）

A、 $a x^{2} + b x + c = 0$ B、 $x^{2} - 3 = 0$ C、 $\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x} = 1$ D、 $x^{2} + 2 - x (x - 1) = 0$

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2. 下列运算正确的是（）

A、 $| - (- 2) | = - 2$ B、 $3 + \sqrt{3} = 3 \sqrt{3}$ C、 ${({a^{2}}^{})}^{2} = a^{4} b^{6}$ D、（a－2）²＝a²－4

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3. 下列命题中，为真命题的是（）
⑴对角线互相平分的四边形是平行四边形（2）对角线互相垂直的四边形是菱形（3）对角线相等的平行四边形是菱形（4）有一个角是直角的平行四边形是矩形

A、（1）（2） B、（1）（4） C、（2）（4） D、（3）（4）

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4. 为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举办了党史知识竞赛活动，在获得一等奖的学生中，有3名女学生，1名男学生，则从这4名学生中随机抽取2名学生，恰好抽到2名女学生的概率为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{6}$

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5. 一元二次方程 $x^{2} - 8 x - 2 = 0$ ，配方后可形为（）

A、 ${(x - 4)}^{2} = 18$ B、 ${(x - 4)}^{2} = 14$ C、 ${(x - 8)}^{2} = 64$ D、 ${(x - 4)}^{2} = 1$

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6. 如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA＝10cm ， OA′＝20cm ，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长比是（）

A、1：2 B、2：1 C、1：3 D、3：1

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 分别在 $A B$ ， $A C$ ， $B C$ 边上， $D E / / B C$ ， $E F / / A B$ ，则下列比例式中错误的是（）

A、 $\frac{C E}{C F} = \frac{E A}{B F}$ B、 $\frac{A E}{E C} = \frac{B F}{F C}$ C、 $\frac{A D}{B F} = \frac{A B}{B C}$ D、 $\frac{E F}{A B} = \frac{D E}{B C}$

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8. 若关于x的一元二次方程 $(a - 6) x^{2} - 2 x + 3 = 0$ 有实数根，则整数a的最大值是（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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9. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，P是对角线 $A C$ 上一动点，过点P作 $P E ⊥ B C$ 于点E． $P F ⊥ A B$ 于点F．若菱形 $A B C D$ 的周长为24，面积为24，则 $P E + P F$ 的值为（）

A、4 B、 $\frac{24}{5}$ C、6 D、 $\frac{48}{5}$

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10. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，顶点 $A ， B ， C ， D$ 在坐标轴上，且 $B (2 ， 0)$ ，以 $A B$ 为边构造菱形 $A B E F$ ．将菱形 $A B E F$ 与正方形 $A B C D$ 组成的图形绕点 $O$ 逆时针旋转，每次旋转 $45 °$ ，则第2020次旋转结束时，点 $F_{2020}$ 的坐标为（）

A、 $(- 2 ， 2 \sqrt{2})$ B、 $(- 2 ， - 2 \sqrt{2})$ C、 $(2 \sqrt{2} ， - 2)$ D、 $(- 2 \sqrt{2} ， - 2)$

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二、填空题

11. 若0是一元二次方程 $(m - 1) x^{2} + 6 x + m^{2} - 1 = 0$ 的一个根，则m的值为．

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12. 在菱形ABCD中,对角线AC=30，BD=60，则菱形ABCD的面积为．

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13. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，连结BD．若 $C D = 1$ ，则AD的长为．

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14. 如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为°．

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15. 已知点 $P$ 是线段 $A B$ 的黄金分割点（ $A P > B P$ ），如果 $A B = 2 c m$ ，那么线段 $A P =$ $c m$ .

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16. 观察右边立体图得到它的主视图、左视图和俯视图，请写在对应图的下边．
① ， ② ， ③ ．

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17. 如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把 $△ B C E$ 沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF．若点E，F，D在同一条直线上，AE＝2，则DF＝， BE＝．

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三、解答题

18. 解下列方程：

(1)、x²﹣6x+3=0；

(2)、3x（x﹣2）=2（x﹣2）．

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19. 已知一元二次方程 $x^{2} + p x + q + 1 = 0$ 的一个根为2

(1)、求q关于p的关系式；

(2)、求证：方程 $x^{2} + p x + q = 0$ 有两个不等的实数根．

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20. 如图， $△ A B D$ 中， $∠ A B D = ∠ A D B$ ．

(1)、作点A关于 $B D$ 的对称点C；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

(2)、在（1）所作的图中，连接 $B C$ ， $D C$ ，连接 $A C$ ，交 $B D$ 于点O．求证：四边形 $A B C D$ 是菱形．

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21. 目前，全国各地正在有序推进新冠疫苗接种工作．某单位为了解职工对疫苗接种的关注度，随机抽取了部分职工进行问卷调查，调查结果分为：A（实时关注）、B（关注较多）、C（关注较少）、D（不关注）四类，现将调查结果绘制成如图所示的统计图．
请根据图中信息，解答下列问题：

(1)、求C类职工所对应扇形的圆心角度数，并补全条形统计图；

(2)、若D类职工中有3名女士和2名男士，现从中任意抽取2人进行随访，请用树状图或列表法求出恰好抽到一名女士和一名男士的概率．

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22. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $B E ⊥ A B$ 于点E，交 $A C$ 于点F，且 $A E ： E B = 1 ： 2$ ．

(1)、求证： $△ A E F ∽ △ C D F$ ；

(2)、求 $△ A E F$ 与 $△ A F D$ 的面积比．

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23. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，E是 $B C$ 的中点， $D F ⊥ A E$ ，垂足为F.

(1)、求证： $Δ A B E ∽ Δ D F A$ ；

(2)、若 $A B = 6$ ， $B C = 4$ ，求 $D F$ 的长.

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24. 某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．

(1)、当销售单价为90元时，每月的销售量为件．

(2)、求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）

(3)、若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？

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25. 如图，在菱形ABCD中， $∠ D A B = 60 °$ ， $A B = 2$ ，点E为边AB上一个动点，延长BA到点F，使 $A F = A E$ ，且CF、DE相交于点G

(1)、当点E运动到AB中点时，证明：四边形DFEC是平行四边形；

(2)、当 $C G = 2$ 时，求AE的长；

(3)、当点E从点A开始向右运动到点B时，求点G运动路径的长度．

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