北京市21、22中联盟校2021-2022学年九年级上学期10月月考数学试题

试卷更新日期：2022-01-04 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 下列方程中一元二次方程的个数为（）
①2x²－3＝0； ②x²＋y²＝5； ③ $\sqrt{x^{2} - 4} = 5$ ； ④ $x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = 2 .$

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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2. 下列叙述正确的是（）

A、形如 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的方程叫一元二次方程 B、方程 $4 x^{2} + 3 x = 4$ 不含有常数项 C、一元二次方程中，二次项系数、一次项系数及常数项均不能为0 D、 ${(3 - y)}^{2} = 0$ 是关于y的一元二次方程

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3. 如图，△ABC经过变换得到△AB'C'，其中△ABC绕点A逆时针旋转60°的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 抛物线y＝（x﹣1）²+3的顶点坐标是（）

A、（1，3） B、（﹣1，3） C、（1，﹣3） D、（3，﹣1）

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5. 已知关于x的一元二次方程x²+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、实数根的个数与实数b的取值有关

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6. 老师给出了二次函数y＝ax²＋bx＋c（a≠0）的部分对应值如表：

x	…	﹣3	﹣2	0	1	3	5	…
y	…	7	0	﹣8	﹣9	﹣5	7	…

同学们讨论得出了下列结论，

①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x＝2；③当﹣2＜x＜4时，y＜0；④当x＞1时，y随x的增大而增大；⑤若方程ax²＋bx＋c＝m有两个不相等的实数根，则m＞﹣9．

其中正确的个数是（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 120 °$ ，将 $△ A B C$ 绕点C逆时针旋转得到 $△ D E C$ ，点A，B的对应点分别为D，E，连接 $A D$ ．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（）

A、 $∠ A B C = ∠ A D C$ B、 $C B = C D$ C、 $D E + D C = B C$ D、 $A B ∥ C D$

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8. 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度 $y$ （单位： $m$ ）与水平距离 $x$ （单位： $m$ ）近似满足函数关系 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ）．下图记录了某运动员起跳后的 $x$ 与 $y$ 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（）

A、 $10 m$ B、 $15 m$ C、 $20 m$ D、 $22.5 m$

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9. 如图，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $55 °$ 得到 $△ A D E$ ，若 $∠ E = 70 °$ 且 $A D ⊥ B C$ 于点 $F$ ，则 $∠ B A C$ 的度数为（）

A、 $65 °$ B、 $70 °$ C、 $75 °$ D、 $80 °$

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二、填空题

10. 一元二次方程x²﹣4x+4=0的解是．

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11. 已知m是关于x的方程x²﹣3x﹣4＝0的一个根，则3m²﹣9m﹣2＝．

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12. 若二次函数y＝2x²－3的图象上有两个点A(1，m)，B(2，n)，则mn(填“<”“＝”或“>”)．

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13. 如图， $△$ ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点的坐标是 $(- 1 ， 0)$ ，现将 $△$ ABC绕A点按逆时针方向旋转 $90 °$ ，则旋转后点C对应点的坐标是．

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14. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的对称轴为 $x = 1$ ，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（4，0），则点Q的坐标为．

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15. 已知抛物线y＝ax²+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②4a+b＝0；③a﹣b+c＜0；④b²＞4ac；⑤当x＜2时，y随x的增大而增大，你认为其中正确的是 .（填序号）

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16. 定义：若抛物线与x轴有两个交点，且这两个交点与它的顶点所构成的三角形是直角三角形，则把这种抛物线称作“和美抛物线”.如图，一组抛物线的顶点B₁(1，y₁)，B₂(2，y₂)，B₃(3，y₃)，… B_n(n，y_n)（n为正整数）依次是直线y $= \frac{1}{3} x + \frac{1}{4}$ 上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是A₁(a₁ ， 0)，A₂(a₂ ， 0)，A₃(a₃ ， 0)，…A_n+1(a_n+1 ， 0)（0＜a₁＜1，n为正整数）.若这组抛物线中存在和美抛物线，则a₁＝.

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三、解答题

17. 解方程：

(1)、 $3 (2 x - 1)^{2} - 12 = 0$

(2)、6x²－x－2＝0．

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18. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，建立如图所示的平面直角坐标系， $△ A B C$ 的顶点均在格点上，点 $B$ 的坐标为（1，0）．

(1)、画出将 $△ A B C$ 绕原点 $O$ 按顺时针旋转90°所得的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出 $C_{1}$ 点的坐标．

(2)、求线段 $C C_{1}$ 的长度．

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19. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $∠ C = 40 °$ .将 $Δ A B C$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转后得 $Δ A D E$ ，连接 $B D$ .当 $D E / / A C$ 时，求 $∠ A B D$ 的度数.

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20. 已知抛物线C₁：y＝（x+2）²﹣1，抛物线C₁ ，的顶点为A，与y轴的交点为B．

⑴点A的坐标是 ▲ ，点B的坐标是 ▲ ；

⑵在平面直角坐标系中画出C₁的图象（不必列表）；

⑶将抛物线C₁向下平移3个单位，向右平移2个单位后得到抛物线C₂ ，画出平移后的抛物线C₂并写出抛物线C₂的解析式．

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21. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 4 x + m + 2 = 0$ 有两个不相等的实数根．

(1)、求 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $m$ 为满足条件的最大整数，求方程的根．

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22. 某商店销售一种进价为20元/双的手套，经调查发现，该种手套每天的销售量w（双）与销售单价x（元）满足w＝﹣2x+80（20≤x≤40），设销售这种手套每天的利润为y（元）．

(1)、求y与x之间的函数关系式；

(2)、当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？

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23. 有这样一个问题：探究函数y= $\frac{1}{2}$ （x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）+x的性质．

(1)、先从简单情况开始探究：
①当函数y= $\frac{1}{2}$ （x﹣1）+x时，y随x增大而（填“增大”或“减小”）；
②当函数y= $\frac{1}{2}$ （x﹣1）（x﹣2）+x时，它的图象与直线y=x的交点坐标为；

(2)、当函数y= $\frac{1}{2}$ （x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）+x时，
下表为其y与x的几组对应值．
x
…
﹣ $\frac{1}{2}$
0
1
$\frac{3}{2}$
2
$\frac{5}{2}$
3
4
$\frac{9}{2}$
…
y
…
﹣ $\frac{113}{16}$
﹣3
1
$\frac{27}{16}$
2
$\frac{37}{16}$
3
7
$\frac{177}{16}$
…
①如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中各对对应值为坐标的点，请根据描出的点，画出该函数的图象；
②根据画出的函数图象，写出该函数的一条性质： ▲ ．

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24. 随着国内新能源汽车的普及，为了适应社会的需求，全国各地都在加快公共充电桩的建设，某省2018年公共充电桩的数量为2万个，2020年公共充电桩的数量为2.88万个．

(1)、求2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率；

(2)、按照这样的增长速度，预计2021年该省将新增多少万个公共充电桩？

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25. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 4 m x + 3 m^{2} = 0$ ．

(1)、求证：该方程总有两个实数根；

(2)、若 $m > 0$ ，且该方程的两个实数根的差为2，求 $m$ 的值．

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26. 如图，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于两点 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ ．

(1)、求 $b$ ， $c$ 的值．

(2)、观察函数的图象，直接写出当 $x$ 取何值时， $y > 0$ ．

(3)、设抛物线交 $y$ 轴于点 $C$ ，在该抛物线的对称轴上是否存在点 $Q$ ，使得 $△ Q A C$ 的周长最小？若存在，求出 $Q$ 点的坐标；若不存在，请说明理由．

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27. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线 $G ： y = 4 x^{2} - 8 a x + 4 a^{2} - 4$ ， $A (- 1 ， 0) ， N (n ， 0)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，①求抛物线G与x轴的交点坐标；
②若抛物线G与线段 $A N$ 只有一个交点，求n的取值范围；

(2)、若存在实数a，使得抛物线G与线段 $A N$ 有两个交点，结合图象，直接写出n的取值范围．

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28. 定义：若关于x的一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根为x₁ ， x₂（x₁＜x₂），分别以x₁ ， x₂为横坐标和纵坐标得到点M（x₁ ， x₂），则称点M为该一元二次方程的衍生点．

(1)、若方程为x²﹣2x＝0，写出该方程的衍生点M的坐标．

(2)、若关于x的一元二次方程x²﹣（2m+1）x+2m＝0（m＜0）的衍生点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值．

(3)、是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程x²+bx+c＝0的衍生点M始终在直线y＝kx﹣2（k﹣2）的图象上，若有请直接写出b，c的值，若没有说明理由．

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x	…	﹣ $\frac{1}{2}$	0	1	$\frac{3}{2}$	2	$\frac{5}{2}$	3	4	$\frac{9}{2}$	…
y	…	﹣ $\frac{113}{16}$	﹣3	1	$\frac{27}{16}$	2	$\frac{37}{16}$	3	7	$\frac{177}{16}$	…