高中数学人教A版（2019）必修一第五章三角函数

试卷更新日期：2022-01-03 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $c o s α = - \frac{\sqrt{5}}{5} (0 < α < π)$ ，则 $t a n (α + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、-3 D、3

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2. 若 $s i n (α + \frac{π}{6}) = \frac{3}{5}$ ，则 $s i n (2 α - \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $\frac{7}{25}$ B、 $\frac{24}{25}$ C、 $- \frac{7}{25}$ D、 $- \frac{24}{25}$

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3. 若 $\frac{s i n α + c o s α}{s i n α - c o s α} = \frac{1}{2}$ ，则 $t a n 2 α$ 等于（）

A、 $- \frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $- \frac{4}{3}$ D、 $\frac{4}{3}$

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4. 已知函数 $f (x) = \cos (12 x + \frac{π}{3})$ 的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，再向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，得到的函数的一个对称中心是（）

A、 $(\frac{π}{18} ， 0)$ B、 $(\frac{π}{9} ， 0)$ C、 $(\frac{2 π}{9} ， 0)$ D、 $(\frac{37 π}{288} ， 0)$

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5. 已知曲线C₁：y = cosx，C₂∶ $y = s i n (2 x + \frac{5 π}{6})$ ，则下面结论正确的是（　　）

A、把C₁上各点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，再把所得曲线向左平移 $\frac{5 π}{12}$ 个单位长度，得到曲线C₂ B、把C₁上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移 $\frac{5 π}{6}$ 个单位长度，得到曲线C₂ C、把C₁上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到曲线C₂ D、把C₁上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，得到曲线C₂

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6. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的最小正周期为 $π$ ，将该函数的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后，得到的图象对应的函数为偶函数，则下列说法错误的是（）

A、函数 $y = f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{6} ， \frac{2 π}{3}]$ 上单调递减 B、函数 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称 C、函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{5 π}{12} ， 0)$ 对称 D、函数 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 对称

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7. 已知函数 $f (x) = 6 \sin (2 x - \frac{π}{6}) + 1$ 的定义域为 $[0 ， m]$ ，值域为[-2，7]，则 $m$ 的最大值是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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8. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，若 $f (x) = m$ 在 $[0 ， π)$ 上有两个实根 $a$ ， $b$ ，且 $| a - b | > \frac{π}{3}$ ，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \frac{1}{2} ， 0)$ B、 $(0 ， \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{1}{2} ， 1)$ D、 $(- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2})$

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二、多选题

9. 下列函数周期为π，又在 $（ 0 ， \frac{π}{4} ）$ 上单调递增的是（）

A、 $y = \sin (2 x + \frac{π}{6})$ B、 $y = | \sin (x + \frac{π}{4}) |$ C、 $y = \cos | 2 x |$ D、 $y = | \tan x |$

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10. 在锐角△ABC中， $A > B > C$ ，则下列不等关系正确的是（）

A、 $\sin A > \sin B$ B、 $\cos A > \cos B$ C、 $\sin B > \cos C$ D、 $\cos C > \cos B$

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11. 已知函数 $f (x) = - 2 s i n^{2} x + s i n 2 x + 1$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的图象可由 $y = \sqrt{2} s i n 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度得到 B、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{8})$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 内有2个零点 D、 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{2} ， 0]$ 上的最大值为 $\sqrt{2}$

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12. 声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数 $y = A \sin ω t$ .音有四要素：音调､响度､音长和音色.它们都与函数 $y = A \sin ω t$ 及其参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖锐；我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音对应的函数是 $y = \sin x + \frac{1}{2} \sin 2 x + \frac{1}{3} \sin 3 x + \frac{1}{4} \sin 4 x + \dots$ 结合上述材料及所学知识，下列说法错误的是（）

A、函数 $y = \sin x + \frac{1}{2} \sin 2 x + \frac{1}{3} \sin 3 x + \frac{1}{4} \sin 4 x + \dots + \frac{1}{10} \sin 10 x$ 不具有奇偶性 B、函数 $f (x) = \sin x + \frac{1}{2} \sin 2 x + \frac{1}{3} \sin 3 x + \frac{1}{4} \sin 4 x$ 在区间 $[- \frac{π}{8} ， \frac{π}{8}]$ 上单调递增 C、若某声音甲的对应函数近似为 $g (x) = \sin x + \frac{1}{2} \sin 2 x + \frac{1}{3} \sin 3 x$ ，则声音甲的响度一定比纯音 $h (x) = \frac{1}{2} \sin 2 x$ 响度小 D、若某声音乙的对应函数近似为 $φ (x) = \sin x + \frac{1}{2} \sin 2 x$ ，则声音乙一定比纯音 $h (x) = \frac{1}{2} \sin 2 x$ 更低沉

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三、填空题

13. 已知 $\cos (\frac{π}{6} - x) = \frac{1}{3}$ ，则 $\cos (\frac{5 π}{6} + x) - \sin^{2} (x - \frac{π}{6}) =$ ．

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14. 已知函数 $y = \sin (ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 图像的一条对称轴为 $x = \frac{π}{6}$ ，则 $ω$ 的最小值为.

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15. 设函数 $f (x) = \cos ω x (ω > 0)$ ，将y=f（x）的图像向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于．

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16. 已知 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 为△ $A B C$ 的三内角，且角 $A$ 为锐角，若 $\tan B = 2 \tan A$ ，则 $\frac{1}{\tan B} + \frac{1}{\tan C}$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $0 < φ < 2 π$ ）在一个周期内的部分对应值如下表：
$x$
$- \frac{π}{2}$
0
$\frac{π}{6}$
$\frac{π}{2}$
$f (x)$
$- 1$
1
$\frac{1}{2}$
$- 1$

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求函数 $g (x) = f (x) + 2 s i n x$ 的最小值.

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18. 已知向量 $\vec{a} = (\sin 2 x ， \cos 2 x)$ 与向量 $\vec{b} = (\cos \frac{2}{3} π ， - \sin \frac{2}{3} π)$ ，并且函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b} - 2 \sqrt{3} \sin^{2} (x - \frac{π}{3}) + \sqrt{3}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的值域与函数图象对称中心；

(2)、若方程 $f (2 x) - a = 0 (a \in R)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{4}]$ 内有两个不同的解 $x_{1} ， x_{2}$ ，求 $\sin (x_{1} + x_{2})$ 的值.

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19. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin (ω x + φ) + 2 \sin^{2} (\frac{ω x + φ}{2}) - 1$ （ $ω > 0$ ， $0 < φ < π$ ）为奇函数，且 $f (x)$ 图象的相邻两对称轴间的距离为 $\frac{π}{2}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式与单调递减区间；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再把横坐标缩小为原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），得到函数 $y = g (x)$ 的图象，当 $x \in [- \frac{π}{12} ， \frac{π}{6}]$ 时，求函数 $g (x)$ 的值域.

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20. 已知 $\vec{a} = (1 ， \cos x)$ ， $\vec{b} = (\sin x ， \sqrt{3})$ .

(1)、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，求 $\sin 2 x + \cos^{2} x$ 的值；

(2)、设 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ，将函数 $y = f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到曲线C ，保持C上各点的纵坐标保持不变，将横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍得到 $g (x)$ 的图象，且关于x的方程 $g (x) - m = 0$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上有解，求m的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = sin (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 满足下列三个条件中的两个：
①函数 $f (x)$ 的图象与 $x$ 轴的任意两个相邻交点之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ﹔

②直线 $x = \frac{π}{6}$ 是函数 $f (x)$ 图象的一条对称轴；

③ $f (\frac{π}{4}) = 0 ，$ 且 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{6} ， \frac{π}{2})$ 上单调．

(1)、请指出这两个条件，说明理由，并求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $x \in [- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ ，求函数 $f (x)$ 的值域．

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22. 已知函数 $f (x) = \sin (π + ω x) \cos (π - ω x) - \sin^{2} ω x + \frac{1}{2} (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ .

(1)、求 $ω$ 的值；

(2)、将函数 $y = f (x)$ 的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标扩大为原来的 $\sqrt{2}$ 倍，得到函数 $y = g (x)$ ，若 $[g (x) - g (- \frac{7 π}{4})] [g (x) - g (\frac{11 π}{12})] > 0$ ，求 $x$ 的取值范围.

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$x$	$- \frac{π}{2}$	0	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{2}$
$f (x)$	$- 1$	1	$\frac{1}{2}$	$- 1$

高中数学人教A版（2019） 必修一 第五章 三角函数

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二、多选题

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