重庆市缙云教育联盟2021-2022学年高一上学期数学12月月考试卷

试卷更新日期：2021-12-31 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知 $M = {x | x^{2} + x - 2 < 0}$ ， $N = {x | x \leq 3}$ ，则 $(∁_{R} M) ∩ N =$ （）

A、 $[1 ， 3]$ B、 $(1 ， 3]$ C、 $(- \infty ， - 2] ∪ [1 ， 3]$ D、 $(- \infty ， - 2] ∪ (1 ， 3]$

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2. 命题“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 3 > 0$ ”的否定为（）

A、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 3 > 0$ B、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 3 \leq 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 3 < 0$ D、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 3 \geq 0$

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3. 若 $f (\frac{1}{x}) = \frac{x + 1}{x^{2}}$ ，则有（）

A、 $f (x) = x^{2} + 1$ B、 $f (x) = x^{2} + x$ C、 $f (x) = x^{2} + x (x \neq 0)$ D、 $f (x) = x^{2} + 1 (x \neq 0)$

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4. 设全集 $U = R$ ，函数 $f (x) = \sqrt{1 - x}$ 的定义域为A，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 $(- \infty ， 1)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 1]$ D、 $[1 ， + \infty)$

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5. 有以下结论∶
①将函数 $y = e^{| x |}$ 的图像向右平移1个单位得到 $y = e^{| x | - 1}$ 的图像；
②函数 $f (x) = e^{x}$ 与 $g (x)$ = lnx的图像关于直线y= x对称；
③对于函数 $f (x) = a^{x}$ (a>0且a≠1)，一定有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$
④函数 $f (x) = l o g_{2} (x^{2} - x + 2)$ 的图像恒在x轴上方，
其中正确结论的个数为（　　）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 若一个三角形的两边长分别是2和6，第三边的边长是方程 $x^{2} - 10 x + 21 = 0$ 的一个根，则这个三角形的周长为（）

A、7 B、3或7 C、15 D、11或15

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7. 如图给出了3层的六边形，图中所有点的个数 $S_{3}$ 为28，按其规律再画下去，可以得到 $n$ 层六边形，则 $S_{n}$ 可以表示为（）

A、 $S_{n} = 4 n + 1$ B、 $S_{n} = 4 n + 2$ C、 $S_{n} = 2 n^{2} + 3 n$ D、 $S_{n} = 2 n^{2} + 3 n + 1$

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8. 已知奇函数 $f (x)$ 的定义域为 $(- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2})$ ，其导函数为 $f^{^{'}} (x)$ ，当 $0 < x < \frac{π}{2}$ 时，有 $f (x) c o s x + f (x) s i n x > 0$ 成立，则关于 $x$ 的不等式 $∣ f (x) ∣ < \sqrt{2} f (\frac{π}{4}) \cdot c o s x$ 的解集为（）

A、 $(- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4})$ B、 $(- \frac{π}{2} ， - \frac{π}{4}) \cup (\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ C、 $(- \frac{π}{4} ， 0) \cup (0 ， \frac{π}{4})$ D、 $(- \frac{π}{4} ， 0) \cup (\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$

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二、多选题

9. 下列四个命题，其中为假命题的是（）

A、若函数 $f (x)$ 在 $x > 0$ 时是增函数， $x < 0$ 也是增函数，则 $f (x)$ 是增函数 B、若函数 $f (x) = a x^{2} + b x + 2$ 的图象与 $x$ 轴没有交点，则 $b^{2} - 8 a < 0$ 且 $a > 0$ C、 $f (x) = x^{2} - 2 | x | - 3$ 的单调递增区间为 $[1 ， + \infty)$ D、 $y = 1 + x$ 和 $y = \sqrt{(1 + x)^{2}}$ 表示同一个函数

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10. 下列结论正确的是（）

A、若直线 $l_{1}$ ： $2 (m + 1) x + (m - 3) y + 7 - 5 m = 0$ 与直线 $l_{2}$ ： $(m - 3) x + 2 y - 5 = 0$ 垂直，则 $m = 3$ B、若 $a = l o g_{0.2} 0.1$ ， $b = 0 . 2^{0.1}$ ， $c = 0 . 1^{0.2}$ ，则 $a > b > c$ C、圆 $O_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ 和圆 $O_{2}$ ： $x^{2} + y^{2} - 4 y = 0$ 公共弦长为 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ D、线性相关系数 $r$ 越大，两个变量的线性相关性越强

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11. 已知函数 $f (x) = x - 1$ ， $g (x) = \frac{2}{x}$ ．记 $m a x {a ， b} = {\begin{array}{l} a ， a ⩾ b \\ b ， a < b \end{array}$ ，则下列关于函数 $F (x) = m a x {f (x) ， g (x)} (x \neq 0)$ 的说法正确的是（）

A、当 $x \in (0 ， 2)$ 时， $F (x) = \frac{2}{x}$ B、函数 $F (x)$ 的最小值为-2 C、函数 $F (x)$ 在 $(- 1 ， 0)$ 上单调递减 D、若关于x的方程 $F (x)$ =m恰有两个不等的实数根，则 $m > 1$

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12. 对于函数 $f (x) = \frac{x}{l n x}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $(1 ， e)$ 上单调递增，在 $(e ， + \infty)$ 上单调递减 B、若方程 $f (| x |) = k$ 有 $4$ 个不等的实根，则 $k > e$ C、当 $0 < x_{1} < x_{2} < 1$ 时， $x_{1} l n x_{2} < x_{2} l n x_{1}$ D、设 $g (x) = x^{2} + a$ ，若对 $\forall x_{1} \in R$ ， $\exists x_{2} \in (1 ， + \infty)$ ，使得 $g (x_{1}) = f (x_{2})$ 成立，则 $a \geq e$

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = x^{2} - (2 a - 1) x + 3$ 在区间 $[1 ， 4]$ 上单调递增，则实数 $a$ 取值范围是.

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14. 函数 $f (x) = l o g_{\frac{2}{3}} (x - x^{2})$ 的单调减区间为

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15. 设直线l的方程为(a＋1)x＋y－2－a＝0(a∈R)．

(1)、若直线l在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为；

(2)、若a>－1，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，O为坐标原点，则△OMN的面积取最小值时，直线l对应的方程为.

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16. 已知函数 $y = \frac{2 a x + b}{x^{2} + 1}$ 的定义域为 $R$ ，值域为 $[- 1 ， 4]$ ，那么 $a =$ ， $b =$ .

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四、解答题

17. 在① $A \cup B = B$ ；②“ $x \in A$ “是“ $x \in B$ ”的充分不必要条件；③ $A ∩ B = \emptyset$ 这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题.
问题：已知集合 $A = {x | a - 1 \leq x \leq 2 a + 1} ， B = {x | - 1 \leq x \leq 3}$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $A ∪ B$ ； $A ∩ (∁_{R} B)$

(2)、若 ▲ ，求实数a的取值范围.

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18. 已知 $a > 0$ ，且 $a^{2 x} = \sqrt{2} - 1$ ，求下列代数式的值．

(1)、 $(a^{x} + a^{- x}) (a^{x} - a^{- x})$ ；

(2)、 $\frac{a^{x} + a^{- x}}{a^{x} - a^{- x}}$ ；

(3)、 $\frac{a^{3 x} + a^{- 3 x}}{a^{x} + a^{- x}}$ ．

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19. 已知函数 $g (x)$ 是指数函数，且该函数的图象过点 $(- 1 ， \frac{1}{2})$ ，设 $f (x) = \frac{m - g (x)}{1 + g (x)}$ 是定义在 $R$ 上的奇函数.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若集合 ${x | f (x) = a} \neq \emptyset$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若对任意的 $x \in [0 ， + \infty)$ ，不等式 $f (g^{2} (x) + 2 k g (x)) + f (- 2 g^{2} (x) - 4) > 0$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围.（其中 $g^{2} (x) = g (x) \cdot g (x)$ ）

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20. 已知函数 $f (x) = x + \frac{4}{x}$ ．

(1)、证明：函数 $f (x)$ 在 $[2 ， + \infty)$ 上是增函数；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[4 ， 8]$ 上的值域．

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21. 已知某产品关税与市场供应量的关系近似地满足 $y = P (x) = 2^{(1 - k t) (x - b)^{2}}$ （其中 $t$ 为关税的税率，且 $t \in [0 ， \frac{1}{2}) ， x$ 为市场价格， $b ， k$ 为正常数）且当 $t = \frac{1}{8}$ 时市场供应量曲线如图.

(1)、根据图象，求 $b ， k$ 的值；

(2)、若市场需求量为 $Q$ ，它近似满足 $Q (x) = 2^{11 - \frac{x}{2}}$ ，当 $P = Q$ 时市场价格称为市场平衡价格，则为使市场平衡价格控制在不低于9元，求税率 $t$ 的最小值.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{a^{x} - 1}{a^{x} + 1} (a > 0 ， a \neq 1)$

(1)、判断函数的奇偶性，并证明；

(2)、求该函数的值域；

(3)、判断 $f (x)$ 在 $R$ 上的单调性，并证明.

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