浙江省精诚联盟2021-2022学年高一上学期数学12月联考试卷

试卷更新日期：2021-12-31 类型：月考试卷

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一、单选题

1. $c o s (- \frac{7}{6} π) =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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2. 已知扇形的周长为 $6 c m$ ，该扇形的圆心角是1弧度，则该扇形的面积（）

A、 $4 c m^{2}$ B、 $2 c m^{2}$ C、 $\frac{1}{2} c m^{2}$ D、 $\frac{1}{4} c m^{2}$

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3. 已知命题 $p$ ： $x^{2} + x - 2 > 0$ ，命题 $q$ ： $x - 1 > 0$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 函数 $y = l o g_{a} (x - 4) - 5$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象恒过定点 $P$ ，则点 $P$ 的坐标（）

A、 $(4 ， - 5)$ B、 $(5 ， - 5)$ C、 $(4 ， 0)$ D、 $(5 ， 0)$

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5. 设 $x$ ， $y$ ， $z$ 为正数，且 $3^{x} = 4^{y} = 5^{z}$ ，则（）

A、 $x < y < z$ B、 $y < x < z$ C、 $y < z < x$ D、 $z < y < x$

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6. 函数 $f (x) = \frac{l n | x - 3 |}{{(x - 3)}^{3}}$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量 $P$ 会按确定的比率衰减（称为衰减率）， $P$ 与死亡年数 $t$ 之间的函数关系式为 $P = (\frac{1}{2})^{\frac{t}{a}}$ （其中 $a$ 为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的 $75 %$ ，则可推断该文物属于（）
参考数据： $l o g_{2} 0.75 \approx - 0.4$
参考时间轴：

A、宋 B、唐 C、汉 D、战国

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8. 已知不等式 $x y \leq a x^{2} + 4 y^{2}$ 对于 $x \in [1 ， 2]$ ， $y \in [2 ， 3]$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- 3 ， + ∞)$ B、 $[- 14 ， + \infty)$ C、 $[- 33 ， + \infty)$ D、 $[- \frac{15}{2} ， + \infty)$

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二、多选题

9. 已知全集 $U = {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ，集合 $M = {2 ， 3 ， 4}$ ， $N = {0 ， 1 ， 4}$ ，则下列判断正确的是（）

A、 $M ∪ N = {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4}$ B、 $(∁_{U} M) ∩ N = {0 ， 1}$ C、 $∁_{U} N = {1 ， 2 ， 3}$ D、 $M ∩ N = {0 ， 4}$

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10. 关于函数 $f (x) = \frac{3 x + 2}{x - 1}$ ，正确的说法是（）

A、 $f (x)$ 有且仅有一个零点 B、 $f (x)$ 在定义域内单调递减 C、 $f (x)$ 的定义域为 ${x | x \neq 1}$ D、 $f (x)$ 的图象关于点 $(1 ， 3)$ 对称

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11. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 的图象是连续不断的，且满足以下条件：① $\forall x \in R$ ， $f (- x) = f (x)$ ；② $\forall x_{1} ， x_{2} \in (0 ， + \infty)$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{2} - x_{1}} > 0$ ；③ $f (- 1) = 0$ .下列选项成立的（）

A、 $f (3) > f (- 4)$ B、若 $f (m - 1) < f (2)$ ，则 $m \in (- \infty ， 3)$ C、若 $\frac{f (x)}{x} > 0$ ，则 $x \in (- \infty ， - 1) \cup (0 ， 1)$ D、 $\forall x \in R$ ， $\exists M \in R$ ，使得 $f (x) \leq M$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} l o g_{2} | x | ， & 0 < | x | < 1 \\ | 4 - x^{2} | ， & | x | \geq 1 \end{array}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 为偶函数 B、函数 $f (x)$ 有4个零点 C、函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增 D、函数 $y = f (f (x)) - 5$ 有6个零点

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} (x - 2) + \sqrt[4]{3 - x}$ ，则函数的定义域是．

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14. 已知 $t a n (π + α) = 3$ ，则 $\frac{s i n α + c o s α}{s i n α - c o s α} =$ ．

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15. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足 $2 x > y > 0$ ，且满足 $\frac{1}{x + y} + \frac{1}{2 x - y} = 1$ ，则 $4 x + y$ 的最小值是．

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16. 若函数 $f (x) = | x + \frac{16}{x} - a | + a (a \in R)$ 在区间 $[1 ， 16]$ 上最大值为17，则实数 $a$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 定义一种集合运算： $A \otimes B = {x | x \in A ∪ B$ 且 $x \notin A ∩ B}$ ，已知集合 $M = {x | y = l g (3 x - x^{2}) ， x \in R}$ ， $N = {y | y = (\frac{1}{2})^{x} ， x < 0}$ .

(1)、求M∩N；

(2)、求 $M \otimes N$ .

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18. 已知 $f (x) = a x^{2} + (a - 1) x - 1$ ，若 $f (x) > 0$ 的解集为 $(- 1 ， - \frac{1}{2})$

(1)、求实数 $a$ 的值

(2)、求关于 $x$ 的不等式 $\frac{a x + 3}{x - 1} \leq 0$ 的解集．

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19.

(1)、已知角 $α$ 的终边经过点 $P (\frac{4}{5} ， - \frac{3}{5})$ ，求 $\frac{s i n (\frac{π}{2} - α) \cdot t a n (α - π)}{s i n (π + α) \cdot c o s (3 π - α)}$ 的值；

(2)、已知 $0 < x < π$ ， $s i n x + c o s x = \frac{1}{5}$ ，求 $t a n x$ 的值．

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20. 已知函数 $f (x) = 4^{x} + a \cdot 2^{x} + 3$ ， $a \in R$ .

(1)、当 $a = - 4$ 时， $x \in [0 ， 2]$ ，求函数 $f (x)$ 的值域；

(2)、若对于任意的 $x \in (0 ， + \infty)$ ， $f (x) > 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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21. 已知 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，函数 $f (x) = a x^{2} - 9 x + 3$

(1)、若 $a = 2$ ，解方程 $l o g_{2} f (x) = 1 + l o g_{2} (x - 1)$

(2)、设函数 $g (x) = l o g_{a} f (x)$ ，若 $g (x)$ 在 $[2 ， 4]$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围

(3)、若方程 $f (x) = x$ 在 $(0 ， 2]$ 上至少有一个零点，求 $a$ 的取值范围

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22. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} x$ ．

(1)、若 $g (x) = f (4^{x} + 1) + k x$ 是偶函数，求 $k$ 的值；

(2)、若方程 $| f (x) | - 2^{- x} = 0$ 有两个不等的实数根 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，比较 $x_{1} x_{2}$ 与1的大小；

(3)、设函数 $F (x) = m f^{2} (x) - f (\frac{x^{2}}{4}) (m > 0)$ ，若 $\exists a$ ， $b \in R$ ，使得 $y = F (x)$ 在定义域 $[2^{a} ， 2^{b}]$ 上单调递增，且值域为 $[a ， b]$ ，求 $m$ 的取值范围．

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