山西省名校2021-2022学年高一上学期数学12月阶段性测试试卷

试卷更新日期：2021-12-31 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 角度 $202 ° 30$ 化成弧度为（）

A、 $\frac{9 π}{8}$ B、 $\frac{5 π}{4}$ C、 $\frac{11 π}{8}$ D、 $\frac{19 π}{16}$

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2. 命题： $\forall x \in Z ， 2 x \in Z$ 的否定为（）

A、 $\forall x \in Z ， 2 x \notin Z$ B、 $\exists x \in Z ， 2 x \notin Z$ C、 $\forall x \notin Z ， 2 x \notin Z$ D、 $\exists x \in Z ， 2 x \in Z$

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3. 已知集合 $A = {x | {(\frac{1}{4})}^{x - 1} > 1}$ ，集合 $B = {x | l o g_{2} x \leq 1}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 2]$ C、 $(0 ， 2]$ D、 $\emptyset$

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4. 函数 $f (x) = l n (x^{2} + 1)$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知 $a - 2 b = 1$ ，则 $3^{a} + {(\frac{1}{9})}^{b}$ 的最小值为（）

A、4 B、 $\sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

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6. 已知角 $α$ 是锐角，若 $15 α$ 与 $α$ 的终边相同，则 $α$ 的所有取值之和为（）

A、 $\frac{3 π}{7}$ B、 $\frac{4 π}{7}$ C、 $\frac{5 π}{7}$ D、 $\frac{6 π}{7}$

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7. 一种药在病人血液中的量低于 $80 m g$ 时病人就有危险，现给某病人的静脉注射了这种药 $10000 m g$ ，如果药在血液中以每小时80%的比例衰减，那么应再向病人的血液中补充这种药不能超过的最长时间为（）

A、1.5小时 B、2小时 C、2.5小时 D、3小时

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8. 下列各式的值为负的是（）

A、 $t a n 288 ° c o s 158 °$ B、 $s i n 305 ° c o s 460 °$ C、 $c o s 378 ° s i n 1100 °$ D、 $t a n 400 ° t a n 470 °$

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9. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} a^{x} - 2 ， x < 1 \\ l o g_{a} x ， x \geq 1 \end{array}$ ，在R上单调递增，则实数a的取值范围为（）

A、 $(1 ， + \infty)$ B、 $(2 ， + \infty)$ C、 $(1 ， 2]$ D、 $(1 ， e]$

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10. 已知 $θ$ 为第四象限角， $s i n θ + c o s θ = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则 $s i n θ - c o s θ =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $- \frac{3 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{3}{5} \sqrt{5}$

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11. 设函数 $f (x) = 2^{x} - x^{2}$ ，则下列说法不正确的是（）

A、当 $x < 0$ 时， $f (x) - f (- x) > 0$ B、当 $0 < x < 1$ 时， $f (x) + f (- x) > 0$ C、 $f (x)$ 在 $(- \infty ， 0)$ 上单调递增 D、函数 $y = | f (x) + x^{2} - 2 |$ 的图象与直线 $y = 1$ 有2个不同交点

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12. 已知 $a = \sqrt{3} ， b = 2^{\frac{3}{4}} ， c = l o g_{2} e$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $a > c > b$ B、 $a > b > c$ C、 $b > a > c$ D、 $b > c > a$

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二、填空题

13. 在半径为10的圆中，圆心角为 $240 °$ 的扇形所对的弧的长度为.

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14. 函数 $f (x) = \sqrt{l o g_{0.2} (1 - x)}$ 的定义域为．

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15. 已知 $p ： 2 x^{2} - 3 x - 2 \geq 0 ， q ： x^{2} - 2 (a - 1) x + a (a - 2) \geq 0$ ，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是.

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | x - 2 | ， x \geq 0 ， \\ 2 l o g_{2} (x + 2) ， x < 0 ， \end{array}$ 若 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，且 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3})$ ，则 $x_{1} f (x_{1}) + x_{2} f (x_{2}) + x_{3} f (x_{3})$ 的取值范围为．

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三、解答题

17. 已知角 $θ$ 的终边经过点 $P (m ， 2 \sqrt{2} m) (m \neq 0)$ .求 $s i n θ ， c o s θ ， t a n θ$ 的值.

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18. 计算下列各式的值：

(1)、 ${(- \frac{1}{27})}^{- \frac{1}{3}} + l o g_{36} 18 + (l o g_{9} 3) \cdot (l o g_{6} 2) - {(- \frac{1}{8})}^{0}$ ；

(2)、 ${(l g 5)}^{2} + 0.2 5^{\frac{5}{2}} \times 0 . 5^{- 4} + (l g 5) \times (l g 2) + l g 20$ .

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19. 已知角 $θ \in (0 ， \frac{π}{4})$ ，且 $s i n θ c o s θ = \frac{2}{5}$ .

(1)、求 $t a n θ$ 的值；

(2)、求 $\frac{2 s i n^{2} θ + 1}{1 - 3 c o s^{2} θ}$ 的值.

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20. 已知偶函数 $f (x) = \frac{x + m}{2^{x} - 2^{- x}}$ .

(1)、求实数 $m$ 的值；

(2)、经过研究可知，函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减，求满足条件 $f (a - 1) < f (a^{2} - a)$ 的实数a的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = \sqrt{x + 1}$ .

(1)、判断函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上的单调性，并用定义证明；

(2)、记函数 $g (x) = f (x) + l o g_{2} x$ ，证明：函数 $g (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上有唯一零点.

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22. 已知函数 $f (x) = l o g_{3} (\frac{2}{x} - a)$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，解关于x的不等式 $f (x) < 0$ ；

(2)、设 $a < 0$ ，若对任意的 $t \in [\frac{1}{4} ， 1]$ ，函数 $f (x)$ 在区间 $[t ， t + 1]$ 上的最大值与最小值的差不超过1，求实数a的取值范围.

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