江苏省南京市六校2021-2022学年高一上学期数学12月联考试卷

试卷更新日期：2021-12-31 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 函数 $f (x) = \sqrt{x + 1} + \frac{1}{x - 1}$ 的定义域是（）

A、[－1，+∞） B、(－1，1)∪(1，+∞) C、(1，+∞) D、[－1，1)∪(1，+∞)

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2. 将函数y=e^x图象上所有的点向右平移1个单位长度，所得图象对应的函数为 $f (x)$ ，则 $f (x)$ =（）

A、e^x+1 B、e^x-1 C、e^-x+1 D、e^-x-1

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3. 下列函数中，是奇函数的是（）

A、 $y = - x^{2} + 4$ B、 $y = x^{3} - 1$ C、 $y = \frac{1}{x}$ D、 $y = | x |$

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4. 已知命题p：|x-1|<1，命题q：﹣1<2，则命题p是命题q成立的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 设 $a = 3^{\frac{1}{4}}$ ， $b = l o g_{4} 3$ ， $c = 4^{\frac{1}{4}}$ ，则（）

A、 $c > b > a$ B、 $a > c > b$ C、 $c > a > b$ D、 $a > b > c$

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6. 规定 $m a x {a ， b}$ 表示取a､b中的较大者，例如 $m a x {0.1 ， - 2} = 0.1$ ， $m a x {2 ， 2} = 2$ .则函数 $f (x) = m a x {x + 1 ， 4 - 2 x}$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积 $= \frac{1}{2} \times$ （弦×矢+矢 $^{2}$ ），弧田（如图阴影部分所示）是由圆弧和弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为 $\frac{2}{3} π$ ，矢为2的弧田，按照上述方法计算出其面积是（）

A、 $2 + 4 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3} + \frac{1}{2}$ C、 $2 + 8 \sqrt{3}$ D、 $4 + 8 \sqrt{3}$

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8. 已知函数 $f (x) = \log_{3} \frac{2 - x}{2 + x}$ ，若 $f (a) + f (a - 1) > 0$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, \frac{1}{2})$ B、 $(- 1, \frac{1}{2})$ C、 $(- 2, 2)$ D、 $(- 1, 2)$

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二、多选题

9. 图中矩形表示集合 $U$ ， $A$ ， $B$ 是 $U$ 的两个子集，则阴影部分可以表示为（　　）

A、 $(∁_{U} A) \cap B$ B、 $∁_{B} (A ∩ B)$ C、 $∁_{U} (A \cap (∁_{U} B))$ D、 $∁_{A \cup B} A$

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10. 下列函数中，最小值为2的有（）

A、 $y = x + \frac{1}{x}$ B、 $y = e^{x} + e^{- x}$ C、 $y = x^{2} + 2 x + 3$ D、y=3^x+2

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11. 设 $a = l o g_{3} 6 ， b = l o g_{2} \frac{1}{6}$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = 1$ B、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$ C、 $a + b < 0$ D、 $\frac{1}{a^{2}} - \frac{1}{b^{2}} < 0$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | l o g_{2} x | ， 0 < x ⩽ 2 \\ - 4 x + 9 ， x > 2 \end{array}$ ，若存在0<a<b<c，使f（a）=f（b）=f（c）.则下列结论正确的是（）

A、f（x）的值域是R B、ab=1 C、f（x）=t有唯一解的充要条件是t>1 D、abc的取值范围为 $(2 ， \frac{9}{4})$

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三、填空题

13. 已知 $α \in {- 1 ， \frac{1}{2} ， - 2}$ ，若幂函数f（x）=x^α在（0，+∞）上单调递增，则f（2）=.

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14. “密位制”是一种度量角的方法，我国采用的“密位制”是6000密位制，即将一个圆周角分为6000等份，每一个等份是一个密位，那么120密位等于弧度．

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15. 函数 $f (x) = l o g_{\frac{1}{2}} (x^{2} - 2 x)$ 的单调增区间为．

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16. 已知函数 $f (x)$ 为定义在R上的奇函数，满足对 $\forall x_{1} ， x_{2} \in [0 ， + \infty)$ ，其中 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $(x_{1} - x_{2}) [x_{1} f (x_{1}) - x_{2} f (x_{2})] > 0$ ，且 $f (2) = 3$ ，则不等式 $f (x) > \frac{6}{x}$ 的解集为.

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四、解答题

17. 在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点在原点，始边在x轴的正半轴上.

(1)、若 $α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，且α的终边与单位圆的交点的横坐标为 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ ，求tanα的值；

(2)、若tanα=2，求 $\frac{s i n α + c o s α}{s i n α - c o s α}$ 的值.

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18. 已知全集U=R，集合 $A = {x | \frac{x - 2}{x - 5} < 0} ， B = {x | (x - a) (x - a - 2) < 0}$ .

(1)、若a=1，求A∩( $∁$ _UB)；

(2)、若“xA”是“xB”的必要条件，求实数a的取值范围.

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19.

(1)、化简求值： ${(\frac{1}{8})}^{- \frac{1}{3}} \times {(- \frac{5}{6})}^{0} + 8^{\frac{1}{4}} \times \sqrt[4]{2} + (\sqrt[3]{2} \times \sqrt{3})^{6}$ ；

(2)、解关于x的不等式： $2 {(\log_{2} x)}^{2} － 7 l o g_{2} x ＋ 3 \leq 0$ .

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20. 在“基本不等式”应用探究课中，甲和乙探讨了下面两个问题：

(1)、已知正实数x､y满足 $2 x + y = 1$ ，求 $\frac{1}{x} + \frac{1}{2 y}$ 的最小值.甲给出的解法：由 $1 = 2 x + y \geq 2 \sqrt{2 x \cdot y}$ ，得 $\sqrt{x y} \leq \frac{\sqrt{2}}{4}$ ，所以 $\frac{1}{x} + \frac{1}{2 y} \geq 2 \sqrt{\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{2 y}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x y}} \geq 4$ ，所以 $\frac{1}{x} + \frac{1}{2 y}$ 的最小值为4.而乙却说甲的解法是错的，请你指出其中的问题，并给出正确的解法；

(2)、结合上述问题（1）的结构形式，试求函数 $y = \frac{1}{x} + \frac{1}{2 - 3 x} (0 < x < \frac{2}{3})$ 的最小值.

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21. 数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.因为运算，数的威力无穷；没有运算，数就只是一个符号.对数运算与指数运算是两类重要的运算.对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就.一个自然数数位的个数，叫做位数.例如：2⁶=64，所以2⁶的位数是2； $2^{10} = 1024 \in (1 0^{3} ， 1 0^{4})$ ，所以2¹⁰的位数是4.

(1)、试判断2²⁰和2¹⁰⁰的位数，并说明理由；

(2)、若3ⁿ（nN^*）的位数是100，试求出n的所有可能取值.
（本题参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{a \cdot 8^{x} + 2^{x}}{a \cdot 4^{x}}$ （a为常数，且 $a \neq 0$ ， aR）.

(1)、求证：函数 $h (x) = x + \frac{1}{x}$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上是增函数；

(2)、当 $a = - 1$ 时，若对任意的 $x \in [1 ， 2]$ ，都有 $f (2 x) \geq m f (x)$ 成立，求实数m的取值范围；

(3)、当 $f (x)$ 为偶函数时，若关于x的方程 $f (2 x) = m f (x)$ 有实数解，求实数m的取值范围.

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