湖南省部分校2021-2022学年高一上学期数学12月联考试卷

试卷更新日期：2021-12-31 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设集合 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ， $M = {1 ， 2}$ ， $N = {2 ， 3}$ ，则 $∁_{U} (M ∪ N) =$ （）

A、 ${4 ， 5}$ B、 ${1 ， 2}$ C、 ${2 ， 3}$ D、 ${1 ， 3 ， 4 ， 5}$

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2. 2021年1月初，中国多地出现散发病例甚至局部聚集性疫情，在此背景下，各地陆续发出“春节期间非必要不返乡”的倡议，鼓励企事业单位职工就地过年.某市针对非本市户籍并在本市缴纳社保，且春节期间在本市过年的外来务工人员，每人发放1000元疫情专项补贴.小张是该市的一名务工人员，则“他在该市过年”是“他可领取1000元疫情专项补贴”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 命题“ $\forall x \in [1 ， + \infty)$ ， $2 x^{2} - x \leq x^{3}$ ”的否定为（）

A、 $\forall x \in [1 ， + \infty)$ ， $2 x^{2} - x > x^{3}$ B、 $\forall x \in (- \infty ， 1)$ ， $2 x^{2} - x > x^{3}$ C、 $\exists x \in [1 ， + \infty)$ ， $2 x^{2} - x > x^{3}$ D、 $\exists x \in (- \infty ， 1)$ ， $2 x^{2} - x > x^{3}$

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4. 函数 $f (x) = 2^{x} + 2 x$ 的零点所在的区间为（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(- 1 ， 0)$ C、 $(1 ， 2)$ D、 $(2 ， 3)$

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5. 函数 $f (x) = x^{3} + x + \frac{1}{x}$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知 $a = l o g_{2} \frac{1}{3} ， b = l o g_{3} \frac{1}{2} ， c = 3^{- \frac{1}{2}}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $c > b > a$ D、 $c > a > b$

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7. 心理学家有时用函数 $L (t) = A (1 - e^{- k t})$ 来测定人们在时间 $t (m i n)$ 内能够记忆的单词量 $L$ ，其中 $A$ 表示需要记忆的单词量， $k$ 表示记忆率．假设某学生有200个单词要记忆，心理学家测定在 $5 m i n$ 内该学生能够记忆20个单词，则该学生在 $20 m i n$ 内能记忆的单词个数约为（）

A、69 B、65 C、67 D、63

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8. 已知偶函数 $f (x)$ 满足 $f (1 - x) = f (1 + x)$ ，且当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = 2^{x} - 1 .$ 若函数 $y = f (x) - l o g_{a} x$ 恰有4个零点，则 $a =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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二、多选题

9. 已知角 $α$ 的终边与单位圆交于点 $(\frac{1}{3} ， n)$ ，则（）

A、 $c o s α = \frac{1}{3}$ B、 $n = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $s i n α = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $t a n α = \pm 2 \sqrt{2}$

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10. 下列函数中，最小值为2的是（）

A、 $y = x^{2} - 2 x + 3$ B、 $y = \sqrt{x^{2} + 2} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ C、 $y = | x | + \frac{1}{| x |}$ D、 $y = \frac{x}{4} + \frac{1}{x} + 1$

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11. 已知函数 $f (x) = l n (2^{x} + 1) - l n (2^{x} - 1)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的定义域为 $(0 ， + ∞)$ B、 $f (x)$ 的值域为 $(0 ， + ∞)$ C、 $f (x)$ 为减函数 D、 $f (x)$ 为奇函数

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + a x ， x < 0 \\ l n (x + 1) ， x ⩾ 0 \end{array}$ ，则（）

A、若 $f (x)$ 的最小值为-1，则 $a = 2$ B、当 $a ⩾ 0$ 时， $f (x) ⩾ 0$ 恒成立 C、当 $a ⩽ 0$ 时，存在 $x_{0} \in R$ 且 $x_{0} \neq 0$ ，使得 $f (x_{0}) = f (- x_{0})$ D、存在 $a \in R$ ，使得对任意 $x \in R ， f (x) > 1 - a$ 恒成立

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三、填空题

13. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} + \frac{3 m}{2}) x^{m}$ 是偶函数，则 $m =$ ．

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14. 已知函数 $f (x)$ 满足①定义域为 $(0 ， + ∞)$ ；②值域为 $R$ ；③ $f (x^{2}) = 2 f (x)$ .写出一个满足上述条件的函数： $f (x) =$ .

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15. 已知 $α$ 为锐角，若 $s i n (α + \frac{π}{3}) = \frac{4}{5}$ ，则 $s i n (α + \frac{5 π}{6}) =$ ．

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16. 若对任意 $a \in [2 ， 3]$ ，总存在 $y \in [2 ， 3 x]$ ，使得 $l o g_{a} x + l o g_{a} y = 2$ ，则 $x$ 的取值范围是.

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四、解答题

17.

(1)、计算 ${(\frac{1}{8})}^{- \frac{2}{3}} - 2^{1 + l o g_{2} 3} + 2 l g 2 + l g 25$ 的值；

(2)、已知 $m = l g 5 ， 1 0^{n} = 2$ ，计算 $1 0^{\frac{2 m - 3 n}{2}}$ 的值.

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18. 已知 $\frac{c o s (α - \frac{π}{2}) - c o s (α + π)}{3 s i n α - c o s α} = 3$ ．

(1)、求 $t a n (2 π + α)$ 的值；

(2)、求 $s i n α c o s α$ 的值．

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19. 某公司今年年初用64万元收购了1个项目，若该公司从第1年到第 $x$ （ $x \in N_{+}$ 且 $x > 1$ ）年花在该项目的其他费用（不包括收购费用）为 $x (x + 20)$ 万元，该项目每年运行的总收入为40万元．

(1)、试问该项目运行到第几年开始盈利？

(2)、该项目运行若干年后，公司提出了两种方案：
①当盈利总额最大时，以24万元的价格卖出；
②当年平均盈利最大时，以28万元的价格卖出．
假如要在这两种方案中选择一种，你会选择哪一种？请说明理由．

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20. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} (x^{2} - 2 a x)$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）．

(1)、若 $a = \frac{1}{2}$ ，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x)$ 在 $[3 ， 4]$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x + 1) = \frac{x^{2} + 3 x + 1}{x + 1}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若对任意 $x \in [\frac{1}{2} ， 2]$ ， $a \in [0 ， 1]$ ，不等式 $f (x) < m a + m^{2} + \frac{1}{2}$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{4 x + 1}{x - 1} (x \neq 1)$ ．

(1)、判断 $f (x)$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上的单调性，并用定义法证明．

(2)、若函数 $g (x) = l n [f (x) - \frac{3 x}{x - 1}]$ ， $a < 0$ ，证明： $g (e^{2 x} + e^{- 2 x} + 4) + g (- e^{x} - e^{- x} - 2^{a}) < 0$ ．

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