山西省九师联盟2022届高三上学期理数12月联考试卷

试卷更新日期：2021-12-31 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {(x ， y) | \frac{y - 2}{x - 1} = 1}$ ， $B = {(x ， y) | y = 3 x - 1}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 ${1 ， 2}$ C、 ${(1 ， 2)}$ D、 ${(2 ， 1)}$

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2. $s i n 33 ° s i n 63 ° + s i n 27 ° s i n 57 ° =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、1

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3. 如图为某几何体的三视图（图中小正方形的边长为1），则该几何体的侧面积为（）

A、 $4 π$ B、 $4 \sqrt{2} π$ C、 $8 π$ D、 $(4 + 2 \sqrt{2}) π$

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4. 已知点 $A (2 ， 1)$ 在圆C： $x^{2} + y^{2} - 2 x + m y + 2 = 0$ 的外部，则实数m的取值范围为（）

A、 $(- 3 ， - 2) ∪ (2 ， + \infty)$ B、 $(- 2 ， 2) ∪ (3 ， + \infty)$ C、 $(- 2 ， + \infty)$ D、 $(- 3 ， + \infty)$

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5. 要得到函数 $f (x) = c o s (2 x - \frac{π}{6})$ 的图象，只要将函数 $g (x) = s i n (2 x - \frac{π}{6})$ 的图象上所有的点（）

A、向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度 B、向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度 C、向右平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度

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6. 如图，某几何体的平面展开图为4个小等边三角形组合而成，B为CE的中点，则在原几何体中AB与CD所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$

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7. “ $a = - 1$ ”是“直线 $a x + 2 y + 6 = 0$ 与直线 $x + (a - 1) y + a^{2} - 1 = 0$ 平行”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 在等边△ABC中，D为BC的中点，点P为△ACD内一点（含边界），若 $\vec{A P} = \frac{1}{4} \vec{A B} + λ \vec{A C}$ ，则 $λ$ 的取值（）

A、 $(\frac{1}{4} ， \frac{3}{4})$ B、 $[\frac{1}{4} ， \frac{1}{2})$ C、 $[\frac{1}{4} ， \frac{1}{2}]$ D、 $[\frac{1}{4} ， \frac{3}{4}]$

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9. 已知圆O的方程为 $x^{2} + y^{2} = 1$ ，过圆O外一点 $P (a ， b)$ 作圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A､B，若 $\vec{P O} \cdot \vec{P A} = 8$ ，则 $a + b$ 的取值范围为（）

A、 $[- \sqrt{3} ， \sqrt{3}]$ B、 $[- 2 \sqrt{2} ， 2 \sqrt{2}]$ C、 $[- 3 \sqrt{2} ， 3 \sqrt{2}]$ D、 $[- 2 \sqrt{3} ， 2 \sqrt{3}]$

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10. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点M与两个定点的距离之比为常数 $λ$ （ $A > 0$ ， $λ \neq 1$ ），那么点M的轨迹为圆（人们称之为阿波罗尼斯圆）.在△ABC中， $B (- 1 ， 0)$ ， $C (1 ， 0)$ ， D为AB的中点，且 $| C D | = \frac{\sqrt{3}}{2} | A B |$ ，则△ABC面积的最大值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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11. 已知 $a + 2^{a} = 2$ ， $b + c o s 3 b = 3$ ， $c + l o g_{4} c = 6$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $a < c < b$ B、 $a < b < c$ C、 $b < a < c$ D、 $b < c < a$

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12. 过球心的平面截球所得的截面圆称之为球的大圆.对于球面上两点A，B，过点A，B的球的大圆的劣弧长称为点A与点B之间的球面距离.已知距球心距离为3的平面 $α$ 截球O得截面圆 $O_{1}$ ，点P，Q为圆 $O_{1}$ 上的两点， $c o s ∠ P O_{1} Q = \frac{1}{3}$ ，若OP，OQ与 $α$ 所成的角均为 $\frac{π}{6}$ ，则点P与点Q之间的球面距离为（）

A、 $2 π$ B、 $π$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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二、填空题

13. 已知二面角 $α - l - β$ 的大小为130°，两条异面直线a，b满足 $a \subset α$ ， $b \subset β$ ，且 $a ⊥ l$ ， $b ⊥ l$ ，则a，b所成角的大小为.

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14. 已知x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y + 1 \geq 0 \\ x - 3 y - 1 \leq 0 \\ x + y - 3 \geq 0 \end{array}$ ，则点 $P (x ， y)$ 与点 $A (- 2 ， 0)$ 连线的斜率的取值范围为.

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15. 数列1，x，1， x，x，1，x，x，x，1，x，x，x，x，1，x，…，（即在第n个1与第n+1个1之间插入n个x），若该数列的前2022项的和为7899，则x=.

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16. 已知 $f (x)$ ， $g (x)$ 是定义在R上的两个函数，其中 $f (x)$ 是奇函数， $f (2 - x) = f (x)$ ， $g (2 + x) =$ $g (x)$ .当 $x \in (0 ， 2]$ 时， $f (x) = \sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}$ ， $g (x) = {\begin{array}{l} k (x + 1) ， 0 < x \leq 1 \\ - \frac{1}{2} ， 1 < x \leq 2 \end{array}$ .若关于x的方程 $f (x) = g (x)$ 在区间 $(0 ， 5]$ 上有5个不同的实根，则实数k的取值范围为.

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三、解答题

17. 已知锐角 $△ A B C$ 的外接圆的面积为 $9 π$ ， $A B = 4$ ， $A C = 3 \sqrt{3}$ .

(1)、求 $∠ B A C$ 的正弦值；

(2)、设D为线段BC的延长线上一点，若 $△ A C D$ 的面积为 $3 \sqrt{5}$ ，求AD的长.

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18. 已知 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，且 $a_{1} = 1$ ， $S_{n} = a_{n + 1} - 2$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = l o g_{2} \frac{2^{n} a_{n + 1}}{3}$ ，求数列 ${\frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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19. 如图，在圆柱 $O O_{1}$ 中，AC， $A_{1} C_{1}$ 分别为圆O，圆 $O_{1}$ 的直径， $A A_{1}$ ， $B B_{1}$ ， $C C_{1}$ 为圆柱的母线.

(1)、证明： $A_{1} B ∥$ 平面 $O_{1} B_{1} C$ ；

(2)、若圆O的半径为2， $∠ B A C = 30 °$ ， $A_{1} B$ 与圆柱的底面成45°角，点P为 $A_{1} B$ 的中点，求点P到平面 $O_{1} B_{1} C$ 的距离.

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20. 在平面直角坐标系xOy中，已知 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (1 ， 0)$ ，点P满足 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = 3$ ，设点P的轨迹为曲线C.

(1)、求曲线C的方程；

(2)、设点 $D (3 ， 0)$ ，不与坐标轴垂直的直线l与C相交于不同的两点E，F，若x轴平分 $∠ E D F$ ，求证：l过定点.

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21. 如图，已知四边形ABFE和四边形CDEF为两个全等的矩形， $D E ⊥$ 平面ABFE，P，Q分别为EF，BD的中点.

(1)、证明： $P Q ⊥$ 平面ABD；

(2)、若 $A E = \sqrt{2}$ ，二面角C-BP-D的大小为 $\frac{π}{3}$ ，求CD的长.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{a}{a^{2} e^{x} + 1}$ （ $a \in R$ ）.

(1)、若 $a = 1$ ，证明：当 $x > 0$ 时， $f (x) < \frac{1}{e x}$ ；

(2)、讨论方程 $f (x) = \frac{2 - x}{4}$ 的实数解的个数.

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