江西省智慧上进大联考2022届高三上学期理数12月月考试卷

试卷更新日期：2021-12-31 类型：月考试卷

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知全集 $U = R$ ，若集合 $A = {x | 2^{x} > \frac{1}{16}}$ ， $B = {x | x > 2}$ ，则 $A ∩ (∁_{U} B) =$ （）

A、 ${x | - 4 < x < 2}$ B、 ${x | 2 < x < 4}$ C、 ${x | - 4 < x \leq 2}$ D、 ${x | 2 < x \leq 4}$

查看试题解析
2. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， λ)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， 2)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | =$ （）

A、3 B、 $\sqrt{10}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

查看试题解析
3. 哥隆尺是一种特殊的测量尺子，图（1）中的哥隆尺可以一次性测量的长度为1，2，3，4，5，6，小明同学要测量5，8，11，15这4个长度，若使用图（2）中的哥隆尺，则不可以一次性测量的长度个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

查看试题解析
4. 已知圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，若该圆台的体积为 $104 π$ ，则其母线长为（）（注：圆台的体积 $V = \frac{1}{3} \cdot (S_{上} + S_{下} + \sqrt{S_{上} S_{下}}) \cdot h$ ）

A、 $2 \sqrt{10}$ B、 $2 \sqrt{13}$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $\sqrt{13}$

查看试题解析
5. 近年来，娱乐综艺《中国好声音》备受全国音乐爱好者的关注，许多优美的声音通过该节目传到全国观众的耳朵里.声音的本质是声波，而声波在空气中的振动可以用三角函数来刻画，在音乐中可以用正弦函数来表示单音，用正弦函数相叠加表示和弦.已知某二和弦可表示为函数 $f (x) = 2 s i n 2 x + s i n 4 x$ ，则 $f (x)$ 在 $[- π ， π]$ 上的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
6. 已知 $a$ 、 $b \in (0 ， + \infty)$ ，若 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b} \geq \frac{λ}{a + b}$ 恒成立，则实数 $λ$ 的取值范围为（）

A、 $[5 ， + \infty)$ B、 $[9 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 5]$ D、 $(- \infty ， 9]$

查看试题解析
7. 已知平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 3 \sqrt{2}$ ， $A D = 2$ ， $∠ A B C = 13 5^{°}$ ，若 $\vec{D E} = λ \vec{D C}$ ， $\vec{B D} \cdot \vec{A E} = - 6$ ，则 $λ =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

查看试题解析
8. 如图所示，平面四边形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $A C = 2$ ， $C D = \sqrt{2}$ ， $∠ A D C = 4 5^{°}$ ， $∠ D A B = 15 0^{°}$ ，则 $B C$ 的长为（）

A、 $\sqrt{14}$ B、 $2 \sqrt{14}$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{7}$

查看试题解析
9. 如图，小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）

A、 $74 π$ B、 $64 π$ C、 $78 π$ D、 $68 π$

查看试题解析
10. 若斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $A B$ 的中点坐标为 $(\frac{1}{2} ， \frac{1}{3})$ ，则 $k =$ （）

A、-2 B、 $- \frac{3}{2}$ C、-1 D、 $- \frac{1}{2}$

查看试题解析
11. 已知函数 $f (x) = | s i n 2 x | + s i n (2 x - \frac{π}{3})$ ，命题 $p$ ： $f (x)$ 的图象是轴对称图形，但不是中心对称图形；命题 $q$ ： $f (x)$ 在 $[- π ， - \frac{2}{3} π]$ 上单调递减，则在 $\neg p$ ， $p \lor \neg q$ ， $\neg p \land q$ 中，正确的命题的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

查看试题解析
12. 若曲线 $y = e^{x - 1}$ 与曲线 $y = a \sqrt{x}$ 在公共点处有公共切线，则实数 $a =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2 e}}{e}$ B、 $\frac{\sqrt{e}}{e}$ C、 $\frac{2}{e}$ D、 $\frac{1}{e}$

查看试题解析

二、填空题

13. 某公司工人甲生产第 $x$ 件产品的所需时间 $f (x)$ （单位： $h$ ）满足 $f (x) = {\begin{array}{l} l o g_{a} x + 4 ， 0 < x < λ ， \\ \frac{10}{x + 1} ， λ \leq x \leq 8 ， \end{array}$ 其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，若甲生产第2件产品的时间为 $3 h$ ，生产第 $λ$ 件产品的时间为 $2 h$ ，则 $λ a =$ .

查看试题解析
14. 若直线 $l_{1} ： x - 3 y = 0$ 与直线 $l_{2} ： a x - y + 2 = 0$ 相互垂直，则 $l_{2}$ 被圆 $C ： (x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 6$ 截得的弦长为．

查看试题解析
15. 已知首项为 $2$ 的数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n + 1} = S_{n} + 3 a_{n} + 2 n - 1$ ，则 ${a_{n}}$ 的通项公式为．

查看试题解析
16. 已知表面积为24的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，中， $M$ ， $N$ ， $L$ 分别是线段 $A A_{1}$ ， $A_{1} D_{1}$ ， $D_{1} C_{1}$ 的中点，点 $P$ 在平面 $A B C D$ 内，若 $D_{1} P$ //平面 $L M N$ ，则线段 $D_{1} P$ 的长度的最小值为.

查看试题解析

三、解答题

17. 已知圆 $C$ 过点 $(2 ， - 1)$ ， $(6 ， 3)$ ， $(- 2 ， 3)$ ．

(1)、求 $C$ 的标准方程；

(2)、若点 $P (x ， y)$ 在 $C$ 上运动，求 $3 x - 4 y$ 的取值范围．

查看试题解析
18. 已知函数 $f (x) = 3 s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，其中 $A (0 ， \frac{3 \sqrt{3}}{2})$ ， $B (\frac{2 π}{3} ， - \frac{3 \sqrt{3}}{2})$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设函数 $g (x) = f (2 x)$ ， $x \in [- \frac{π}{3} ， 0]$ ，求 $g (x)$ 的值域．

查看试题解析
19. 从① $c (c - b) = (2 - b) (2 + b)$ ， ② $△ A B C$ 的面积 $S = \frac{\sqrt{3}}{2} (2 c o s C + c c o s A) c c o s A$ ， ③ $2 s i n A = b s i n B + c (s i n C - s i n B)$ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答．
已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a = 2$ ，且____．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若角 $A$ 的平分线 $A M$ 与 $B C$ 交于点 $M$ ， $A M = \sqrt{3}$ ，求 $b$ ， $c$ ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

查看试题解析
20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $P H ⊥ A D$ ，垂足为 $H$ ， $H A = H B = H P = \frac{\sqrt{2}}{2} A B = 1$ ．

(1)、求证：平面 $P B C ⊥$ 平面 $P B H$ ；

(2)、若 $P B = \sqrt{2}$ ，求二面角 $A - P B - C$ 的正弦值．

查看试题解析
21. 已知首项为1的数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $n S_{n + 1} - (n + 2) S_{n} = \frac{1}{3} n (n + 1) (n + 2)$ ．

(1)、求证：数列 ${\frac{S_{n}}{n (n + 1)}}$ 是等差数列；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(3)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $a_{2 n + 1} + b_{n} = a_{2 n}$ ，求证： $b_{1} \cdot b_{2} . b_{3} ⋯ ⋯ b_{n} < \frac{1}{n + 1}$ ．

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - x^{2}$ ．

(1)、若 $f (x)$ 在 $[\frac{1}{2} ， 3]$ 上恰有1个零点，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) + x^{2} \geq l n \frac{x - 1}{a e}$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

查看试题解析